Softonic

Калькулятор бинома Ньютона

Шаг 1 / 3 Калькулятор бинома Ньютона

Целое число, десятичная или обыкновенная дробь, например 3/4. Отрицательные числа допускаются.

Далее

Введите коэффициент при x, второе слагаемое и целую степень n от 0 до 20, и калькулятор разложит (ax + b)^n, или (ax + by)^n, если у второго слагаемого своя переменная, по формуле бинома Ньютона. Вы получите полное разложение, таблицу с каждым членом C(n, k) a^(n-k) b^k, строку биномиальных коэффициентов и общий член. Коэффициенты могут быть целыми числами, десятичными дробями или обыкновенными дробями, и каждый результат точен, поэтому даже большая степень не округляется.

Как разложить бином

  1. 1

    Введите a, b и n

    Укажите коэффициент при x, второе слагаемое и степень. Подойдёт целое число, десятичная дробь вроде 0,5 или обыкновенная дробь вроде 3/4. Отрицательные значения тоже работают.

  2. 2

    Выберите второе слагаемое

    Выберите обычное число для (ax + b)^n или вторую переменную для (ax + by)^n.

  3. 3

    Прочитайте разложение

    Сначала показано разложенное выражение, затем общий член, биномиальные коэффициенты и таблица всех членов с их коэффициентами.

Как формула бинома Ньютона строит каждый член

Формула бинома Ньютона утверждает, что для целого числа n:

(ax + b)^n = C(n, 0) (ax)^n + C(n, 1) (ax)^(n-1) b + ... + C(n, n) b^n

Каждый член нумеруется числом k от 0 до n, а общий член имеет вид C(n, k) a^(n-k) b^k x^(n-k). Если есть вторая переменная, в конце добавляется y^k. Биномиальный коэффициент равен C(n, k) = n! / (k! (n-k)!), то есть числу способов выбрать k элементов из n. Калькулятор перемножает C(n, k), a^(n-k) и b^k как точные дроби, а затем сокращает результат.

Треугольник Паскаля: коэффициенты при a = b = 1

n Биномиальные коэффициенты C(n, k)
0 1
1 1, 1
2 1, 2, 1
3 1, 3, 3, 1
4 1, 4, 6, 4, 1
5 1, 5, 10, 10, 5, 1
6 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1

Каждое число равно сумме двух чисел над ним, а сумма чисел в каждой строке равна 2^n.

Разобранные примеры

  • (2x + 3)^4 = 16 x^4 + 96 x^3 + 216 x^2 + 216 x + 81. Проверка: при x = 1 получаем 16 + 96 + 216 + 216 + 81 = 625 = 5^4.
  • (x - 2)^5 = x^5 - 10 x^4 + 40 x^3 - 80 x^2 + 80 x - 32. Отрицательное b даёт чередование знаков.
  • (x/2 + 1)^3 = (1/8) x^3 + (3/4) x^2 + (3/2) x + 1. Дроби остаются точными и не превращаются в округлённые десятичные.

Полезно знать

  • Сумма всех коэффициентов равна (a + b)^n, это быстрый способ проверить разложение, выполненное вручную.
  • Если a или b равно 0, часть членов обращается в нуль. В разложенном виде они опущены, а в таблице остаются с коэффициентом 0.
  • При степени 0 результат всегда равен 1.
  • Десятичная дробь сначала переводится в точную обыкновенную: 0,25 читается как 1/4. Запись с точкой, например 0.25, тоже принимается.
  • Калькулятор работает только с целыми степенями от 0 до 20. Дробные и отрицательные степени требуют бесконечного биномиального ряда, который этот инструмент не вычисляет.

Часто задаваемые вопросы

Это правило разложения суммы двух слагаемых, возведённой в целую степень. (a + b)^n равно сумме по k от 0 до n выражений C(n, k) a^(n-k) b^k. Биномиальные коэффициенты C(n, k) это числа из строки n треугольника Паскаля.

Степень n даёт n + 1 членов, по одному для каждого k от 0 до n. В таблице показаны все. Если a или b равно 0, в разложенном виде членов меньше, потому что нулевые члены отбрасываются.

Да. Введите 3/4, 0,75 или -2 в поля a и b. Десятичные дроби переводятся в точные обыкновенные, поэтому 0,1 обрабатывается как 1/10, а коэффициенты никогда не округляются.

Разложение 20-й степени уже содержит 21 член и коэффициенты из многих десятков цифр, а это примерно предел того, что страница способна показать наглядно. В этом диапазоне калькулятор работает с точными целыми числами и дробями.

Нет. Введённые значения отправляются на наш сервер для вычисления разложения и добавляются в адрес страницы при переходе между шагами, чтобы результат можно было добавить в закладки или отправить другим. Они не сохраняются ни в какой учётной записи или профиле.

Сопутствующие инструменты

Калькулятор прогноза роста взрослого

Получите приблизительную оценку взрослого роста по росту биологических родителей. Инструмент не ставит диагнозов.

Калькулятор «сколько часов назад»

Узнайте точные дату и время, которые были заданное число часов назад от текущего момента.

Калькулятор длительности

Рассчитайте длительность между двумя часами в формате HH:MM, десятичных часах, минутах и секундах.

Калькулятор времени ухода с работы

Рассчитайте время ухода по времени прихода, требуемой оплачиваемой работе и неоплачиваемым перерывам. Учитывает смены через полночь и показывает время в 24- и 12-часовом формате.

Калькулятор числа прошедших лет

Установите точную дату за заданное количество лет до настоящего дня. Возможность обратного определения даты для событий, годовщин и других исторических запросов.

Конвертер дней в месяцы

Преобразуйте количество дней в месяцы, недели и годы, используя среднюю продолжительность месяца, 30,437 дня, готовый результат для планирования и оценок.

Инструмент доступен на других языках