Softonic

Калькулятор характеристического многочлена

Шаг 1 / 3 Калькулятор характеристического многочлена
Размер матрицы
Элементы матрицы

Вводите целые числа, десятичные дроби вроде 0,25 или обыкновенные дроби вроде -3/4. Заполните все ячейки.

Далее: вид многочлена

Характеристический многочлен квадратной матрицы A это det(A - λI), многочлен от λ, корни которого являются собственными значениями матрицы A. Заполните матрицу 2 × 2, 3 × 3 или 4 × 4, и калькулятор выдаст многочлен с точными коэффициентами, след, определитель и, для матриц 2 × 2 и 3 × 3, вещественные собственные значения.

Как найти характеристический многочлен

  1. 1

    Выберите размер и заполните таблицу

    Выберите 2 × 2, 3 × 3 или 4 × 4, затем введите каждый элемент: целое число, десятичную дробь вроде 0,25 или обыкновенную дробь вроде -3/4.

  2. 2

    Выберите вид многочлена

    Выберите det(A - λI), привычный вид из учебников, или det(λI - A), приведённый вид, в котором старший коэффициент всегда равен 1. Для чётного размера, например 2 × 2 или 4 × 4, оба вида дают один и тот же многочлен.

  3. 3

    Прочитайте многочлен

    В результате вы увидите многочлен, таблицу его коэффициентов, а также след и определитель вашей матрицы.

  4. 4

    Проверьте собственные значения

    Для матриц 2 × 2 и 3 × 3 перечислены вещественные корни с их кратностью. Для матрицы 4 × 4 выдаётся только точный многочлен.

Что показывает характеристический многочлен

Для матрицы A размера n × n многочлен det(λI - A) имеет вид:

λⁿ - (след A)·λⁿ⁻¹ + ... + (-1)ⁿ·det A

Два коэффициента читаются сразу: второй равен следу со знаком минус (сумме диагональных элементов), а свободный член равен определителю с точностью до знака (-1)ⁿ. Корни многочлена это собственные значения матрицы A, их сумма равна следу, а произведение определителю. По теореме Гамильтона-Кэли матрица A обращает в нуль собственный характеристический многочлен: если подставить A вместо λ, получится нулевая матрица.

Как вычисляются коэффициенты

Калькулятор использует рекуррентный метод Леверье-Фаддеева. Начиная с единичной матрицы, он строит последовательность матриц M₁, M₂, ... по формуле Mₖ = A·Mₖ₋₁ + cₙ₋ₖ₊₁·I и берёт каждый коэффициент как cₙ₋ₖ = -след(A·Mₖ) / k. Каждый элемент сначала переводится в точную дробь, поэтому коэффициенты получаются точными целыми числами или дробями, а не округлёнными десятичными.

Пример (3 × 3)

Для A = [[2, 0, 0], [0, 3, 4], [0, 4, 9]] след равен 2 + 3 + 9 = 14, а определитель 2·(3·9 - 4·4) = 22. Многочлен:

λ³ - 14λ² + 35λ - 22

Он раскладывается как (λ - 1)(λ - 2)(λ - 11), значит, собственные значения равны 1, 2 и 11. В виде det(A - λI) при нечётном размере все знаки меняются на противоположные: -λ³ + 14λ² - 35λ + 22.

Примеры (2 × 2)

Матрица A Характеристический многочлен Вещественные собственные значения
[[2, 1], [1, 2]] λ² - 4λ + 3 1 и 3
[[1, 2], [3, 4]] λ² - 5λ - 2 5,372281 и -0,372281
[[2, 1], [0, 2]] λ² - 4λ + 4 2 (кратность 2)
[[0, -1], [1, 0]] λ² + 1 нет (комплексная пара)

Чего калькулятор не делает

  • Поддерживаются только размеры 2 × 2, 3 × 3 и 4 × 4.
  • Элементы могут содержать до девяти цифр, а десятичные дроби до шести знаков после запятой. Научная запись не принимается.
  • Собственные значения выводятся десятичными числами с округлением до шести знаков, только для матриц 2 × 2 и 3 × 3 и только вещественные. Комплексные собственные значения и собственные векторы не показываются.

Часто задаваемые вопросы

Для матрицы n × n они отличаются множителем (-1)ⁿ. Для матриц 2 × 2 и 4 × 4 многочлены совпадают. Для матрицы 3 × 3 знаки противоположны, а корни, то есть собственные значения, одинаковы. Во многих учебниках используют det(A - λI), а в программах и на некоторых курсах приведённый вид det(λI - A).

Потому что вычисление точное. Если в матрице есть дроби или десятичные числа, коэффициенты, как правило, получаются дробями, а запись 5/6 точнее, чем 0,8333. Матрицы с целыми элементами всегда дают целые коэффициенты.

Здесь вы получаете точный характеристический многочлен матрицы 4 × 4, но уравнение четвёртой степени калькулятор не решает. Чтобы найти собственные значения, разложите многочлен на множители вручную или воспользуйтесь программой для поиска корней. Для матриц 2 × 2 и 3 × 3 вещественные собственные значения выводятся сразу.

Оно указано один раз вместе с кратностью, например λ = 2 (кратность 2) для матрицы [[2, 1], [0, 2]], многочлен которой равен (λ - 2)².

Нет. Подобные матрицы, например A и P⁻¹AP, имеют один и тот же характеристический многочлен, поэтому он хорошо описывает линейный оператор. Но две матрицы с одинаковым многочленом не всегда подобны.

Нет. Введённые элементы отправляются на наш сервер для расчёта и добавляются в адрес страницы при переходе между шагами, чтобы расчёт можно было сохранить в закладках или отправить другому человеку. Они не сохраняются ни в какой учётной записи или профиле.

Сопутствующие инструменты

Калькулятор прогноза роста взрослого

Получите приблизительную оценку взрослого роста по росту биологических родителей. Инструмент не ставит диагнозов.

Калькулятор «сколько часов назад»

Узнайте точные дату и время, которые были заданное число часов назад от текущего момента.

Калькулятор длительности

Рассчитайте длительность между двумя часами в формате HH:MM, десятичных часах, минутах и секундах.

Калькулятор времени ухода с работы

Рассчитайте время ухода по времени прихода, требуемой оплачиваемой работе и неоплачиваемым перерывам. Учитывает смены через полночь и показывает время в 24- и 12-часовом формате.

Калькулятор числа прошедших лет

Установите точную дату за заданное количество лет до настоящего дня. Возможность обратного определения даты для событий, годовщин и других исторических запросов.

Конвертер дней в месяцы

Преобразуйте количество дней в месяцы, недели и годы, используя среднюю продолжительность месяца, 30,437 дня, готовый результат для планирования и оценок.

Инструмент доступен на других языках