Softonic

Калькулятор комбинаций

Шаг 1 / 3
Далее

C(n, k), читается «n выбрать k», подсчитывает количество способов выбрать k предметов из n, когда порядок не имеет значения. Выберите 3 начинки из 10 → C(10, 3) = 120. Раздайте комбинации из 5 карт из 52 → C(52, 5) = 2 598 960. Калькулятор принимает n до 170, возвращает точный целочисленный результат с помощью арифметики произвольной точности (без округления из-за научной записи) и показывает также соответствующее число перестановок P(n, k).

Как рассчитываются комбинации

  1. 1

    Введите n и k

    Оба неотрицательных целых числа с k ≤ n. n, размер пула; k, размер выделения. Значения выше 170 ограничиваются.

  2. 2

    Формула применена

    C(n, k) = n! / (k! × (n−k)!). Инструмент также вычисляет P(n, k), число упорядоченных выборок.

  3. 3

    Точный целочисленный вывод

    Расчет использует точную целочисленную арифметику, поэтому цифры не теряются даже для значений вроде C(170, 85).

  4. 4

    Оба результата показаны

    Комбинации C(n, k) и перестановки P(n, k) отображаются вместе; P(n, k) = C(n, k) × k!.

Формула

C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!)

Эквивалент: C(n, k) = (n × (n−1) × … × (n−k+1)) / k!

Рабочие примеры

  • C(10, 3) = 120: способы выбрать 3 начинки из 10.
  • C(52, 5) = 2 598 960: 5-карточные покерные комбинации из стандартной колоды.
  • C(49, 6) = 13 983 816: комбинации основного тиража Национальной лотереи Великобритании.
  • C(70, 5) × 25 = 302 575 350: комбинации джекпота Mega Millions (5 основных шаров из 70 + 1 шар Mega из 25).
  • C(100, 50) ≈ 1,01 × 10²⁹: подмножества половины набора из 100 предметов.

Комбинации и перестановки

  • Комбинация C(n, k): порядок не имеет значения. Выбор {A, B, C} аналогичен выбору {C, B, A}.
  • Перестановка P(n, k): порядок имеет значение. {A, B, C} отличается от {C, B, A}.
  • Взаимосвязь: P(n, k) = C(n, k) × k!

Розыгрыши лотереи представляют собой комбинации (порядок шаров не имеет значения). Позиции на финише гонки являются перестановками (важны первое, второе и третье места).

Треугольник Паскаля

C(n, k) образует треугольник Паскаля при расположении:

            1
           1 1
          1 2 1
         1 3 3 1
        1 4 6 4 1
       1 5 10 10 5 1
      1 6 15 20 15 6 1

Каждый элемент C(n, k) представляет собой сумму двух элементов над ним: C(n-1, k-1) + C(n-1, k). Симметрия: C(n, k) = C(n, n-k).

Свойства

  • C(n, 0) = C(n, n) = 1: только один способ выбрать все или ничего.
  • C(n, 1) = n: n способов выбрать один предмет.
  • Сумма строки n: Σ C(n, k) от k=0 до n = 2ⁿ. Всего подмножеств набора из n элементов.
  • Клюшка: Σ C(i, k) от i=k до n = C(n+1, k+1).

Реальные приложения

  • Коэффициенты лотереи: 1 / C(n, k) для выпавших точных чисел.
  • Схема выборки: отбор тестовых групп из совокупности.
  • Генетика: подсчет возможных генотипов потомства.
  • Расписание: в турнирах по круговой системе требуется C(команд, 2) игр.
  • Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1-p)^(n-k).
  • Выбор комитета: способы сформировать комитет из 5 из 20 членов = C(20, 5) = 15 504.

Большие числа: по-прежнему точно

Результаты растут быстро: C(100, 50) уже содержит 30 цифр. Калькулятор ограничивает n до 170, что покрывает все практические применения, такие как лотереи, комитеты и выборки, и сохраняет точность каждого ответа, поскольку расчет использует целочисленную арифметику произвольной точности вместо чисел с плавающей запятой.

Часто задаваемые вопросы

Выбор k элементов для включения математически эквивалентен выбору n-k элементов для исключения. Такое же количество размещений. C(10, 3) = C(10, 7) = 120.

C(n, k) = 0 по соглашению, когда k > n, вы не можете выбрать больше предметов, чем у вас есть. Калькулятор отмечает это и возвращает 0.

Калькулятор принимает n до 170 и всегда возвращает точное целое число. Для стандартных лотерейных и вероятностных задач n почти всегда меньше 100.

Нет. «Комбинации с повторением» (также называемые мультимножествами) используют другую формулу: C(n+k−1, k), которую этот инструмент не вычисляет. Относитесь к такому случаю как к отдельной задаче.

Сопутствующие инструменты

Калькулятор балясин

Введите свободный пролёт перил, ширину балясины и максимально допустимый зазор, чтобы получить точное количество необходимых балясин и равный промежуток между каждой стойкой, не превышающий нормативный предел.

Калькулятор Social Security США

Оцените пенсионную выплату Social Security в США по PIA и возрасту начала получения. Сравните месячные и годовые суммы в 62 года, FRA 67 и 70 лет.

Калькулятор производительности осушителя воздуха

Оцените производительность переносного осушителя по площади и сырости помещения в литрах и американских пинтах в сутки.

Калькулятор юбки-солнце

Рассчитайте радиусы талии и низа для четверти, половины, трёх четвертей или полного круга с прибавками и припусками.

Калькулятор длительности

Рассчитайте длительность между двумя часами в формате HH:MM, десятичных часах, минутах и секундах.

Калькулятор нумерологии

Рассчитайте нумерологические числа имени по пифагорейским или халдейским значениям букв: выражение, стремление души и личность.