Softonic

Решатель кубических уравнений

Шаг 1 / 3 Решите ax³ + bx² + cx + d = 0.
Далее

Кубическое уравнение имеет общую форму ax³ + bx² + cx + d = 0 и всегда имеет три корня в комплексной области. Введите четыре коэффициента, решатель вернёт их по формуле Кардано: три вещественных корня при неположительном дискриминанте; один вещественный корень и пару комплексно-сопряжённых корней при положительном дискриминанте; а также конфигурацию двойного корня при дискриминанте, равном нулю.

Как решатель находит корни

  1. 1

    Введите коэффициенты

    Четыре числа: a, b, c, d. Ведущий коэффициент a должен быть ненулевым; в противном случае уравнение является квадратным, а не кубическим.

  2. 2

    Приведённый кубический многочлен

    Решатель смещает уравнение на −b/(3a), чтобы устранить квадратичный член, и получает форму `t³ + pt + q = 0`.

  3. 3

    Проверка дискриминанта

    Δ = (q/2)² + (p/3)³ определяет путь решения: при Δ > 0, один вещественный корень; при Δ = 0, двойной корень; при Δ < 0, три вещественных корня, которые находятся с помощью тригонометрии.

  4. 4

    Обратный сдвиг

    Каждый корень, найденный в пространстве t, смещается на −b/(3a), чтобы восстановить значение x. При необходимости решатель возвращает эти значения в убывающем порядке.

Случаи дискриминанта и их значение

Метод Кардано выбирает один из трёх путей в зависимости от знака дискриминанта Δ = (q/2)² + (p/3)³. Геометрия кубического графа точно соответствует этому принципу.

Таблица случаев

Дискриминант Корни Форма графика
Δ > 0 1 вещественный, 2 комплексно-сопряжённых Пересекает ось x один раз
Δ = 0 3 вещественных, как минимум два равны Касается оси x в двойном корне
Δ < 0 3 различных вещественных корня Пересекает ось x три раза

Разобранный пример

Для уравнения x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 (коэффициенты: 1, −6, 11, −6):

  • Сдвиг на −b/(3a) = 2 даёт приведённую форму: p = −1, q = 0.
  • Δ = (q/2)² + (p/3)³ = 0 + (−1/3)³ = −1/27 < 0, поэтому идём по пути трёх вещественных корней (тригонометрическому).
  • Тригонометрическая формула даёт три различных вещественных корня x = 1, 2, 3.

Численные аспекты

  • Погрешность с плавающей запятой возникает, когда три корня находятся близко друг к другу (почти тройной корень). Показанные корни могут отличаться от точных значений в нескольких последних десятичных знаках.
  • Очень малое a делает b/(3a) большим, что доминирует в вычислениях и снижает точность. Если |a| меньше примерно 1e-12, решайте задачу как квадратное уравнение.
  • Целочисленные коэффициенты дают самый чистый результат: рациональные корни отображаются в их точных значениях с точностью до округления с плавающей запятой.

Связанные уравнения

  • Квадратное: ax² + bx + c = 0. Используйте Решатель квадратных уравнений, замкнутая форма и проще.
  • Четвёртой степени: ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0. Метод Феррари сводится к резольвентному кубическому уравнению; здесь не рассматривается.
  • Приведённое кубическое: установите b = 0, чтобы пропустить сдвиг и передать x³ + px + q = 0 напрямую.

Часто задаваемые вопросы

Уравнение больше не является кубическим; в этом случае решатель отказывается продолжать работу, перейдите к Решателю квадратных уравнений для bx² + cx + d = 0.

В этом случае решатель возвращает единственный вещественный корень. Два других корня представляют собой пару комплексно-сопряжённых корней, которые формула Кардано даёт в замкнутой форме; если они нужны для символического результата, вычислите их как -x1/2 ± (√3/2) × i × модуль.

Численные реализации метода Кардано могут давать остатки порядка 1e-15 из-за округления с плавающей запятой. Всё, что меньше 1e-10, следует считать вещественным; данный решатель уже отфильтровывает такие остатки для ветви Δ < 0.

Четыре коэффициента отправляются на сервер только для вычисления корней и не сохраняются. В пошаговом представлении коэффициенты также попадают в ссылку на страницу.

Сопутствующие инструменты

Калькулятор балясин

Введите свободный пролёт перил, ширину балясины и максимально допустимый зазор, чтобы получить точное количество необходимых балясин и равный промежуток между каждой стойкой, не превышающий нормативный предел.

Калькулятор делительной окружности отверстий

Рассчитайте PCD, угловой шаг и точные координаты X/Y равномерных отверстий с поворотом, смещением центра и экспортом CSV.

Калькулятор длительности

Рассчитайте длительность между двумя часами в формате HH:MM, десятичных часах, минутах и секундах.

Калькулятор производительности осушителя воздуха

Оцените производительность переносного осушителя по площади и сырости помещения в литрах и американских пинтах в сутки.

Калькулятор юбки-солнце

Рассчитайте радиусы талии и низа для четверти, половины, трёх четвертей или полного круга с прибавками и припусками.

Калькулятор нумерологии

Рассчитайте нумерологические числа имени по пифагорейским или халдейским значениям букв: выражение, стремление души и личность.

Инструмент доступен на других языках