Softonic

Калькулятор собственных значений

Шаг 1 / 4 Матрица A
Первая строка

Этот калькулятор собственных значений решает действительную матрицу 2×2 по четырём её элементам. Инструмент вычисляет след, определитель, характеристический многочлен, дискриминант и собственные значения, а затем показывает действительные собственные векторы, когда оба собственных значения различны и действительны. Он пригодится для домашних заданий по линейной алгебре, для быстрой проверки инженерных моделей и для контроля результата перед тем, как приводить небольшую матрицу к диагональному виду вручную.

Как найти собственные значения

  1. 1

    Введите элементы матрицы

    Заполните a, b, c и d для матрицы A = [[a, b], [c, d]]. Допускаются десятичные и отрицательные значения.

  2. 2

    Составьте характеристическое уравнение

    Калькулятор берёт след T = a + d и определитель D = ad - bc и получает λ² - Tλ + D = 0.

  3. 3

    Определите тип корней

    Дискриминант T² - 4D показывает, будут ли собственные значения двумя действительными числами, одним кратным корнем или парой комплексно-сопряжённых чисел.

Формула для матрицы 2×2

Для A = [[a, b], [c, d]] собственные значения являются корнями уравнения:

det(A - λI) = 0

Раскрывая этот определитель, получаем:

λ² - Tλ + D = 0

Где:

  • T = a + d (след матрицы).
  • D = ad - bc (определитель).
  • Δ = T² - 4D (дискриминант).

Тогда:

λ = (T ± sqrt(Δ)) / 2

Разобранный пример

Для A = [[2, 1], [1, 2]] след равен T = 2 + 2 = 4, а определитель D = 2·2 - 1·1 = 3. Характеристический многочлен принимает вид:

λ² - 4λ + 3 = 0

Дискриминант равен Δ = 4² - 4·3 = 4, поэтому собственные значения:

λ₁ = (4 + 2) / 2 = 3

λ₂ = (4 - 2) / 2 = 1

Собственному значению 3 соответствует, например, собственный вектор [1, 1], а собственному значению 1 соответствует вектор [1, -1]. Любое ненулевое скалярное кратное этих векторов также является допустимым собственным вектором.

Что означает дискриминант

Дискриминант Δ Случай собственных значений Чего ожидать
Δ > 0 Два действительных собственных значения Два различных действительных корня и, для матрицы 2×2, два независимых собственных вектора, если матрица диагонализируема над действительными числами.
Δ = 0 Кратное собственное значение Один двукратный корень. Собственное подпространство может быть одномерным или двумерным, поэтому проверяйте собственные векторы отдельно, если важна диагонализация.
Δ < 0 Пара комплексно-сопряжённых чисел Действительных собственных значений нет. У корней одинаковая действительная часть и противоположные мнимые части.

Частые ошибки

  • Неверно записать A - λI. Меняются только элементы главной диагонали: a - λ и d - λ.
  • Забыть знак в определителе. Для матрицы 2×2 верно D = ad - bc, а не ad + bc.
  • Считать кратное собственное значение автоматически диагонализируемым. Двукратному корню всё равно нужно достаточное число независимых собственных векторов.
  • Округлять слишком рано. Держите след, определитель и дискриминант точными как можно дольше, особенно при десятичных значениях.

Часто задаваемые вопросы

Инструмент рассчитан на действительные матрицы 2×2. Благодаря этому результат остаётся прозрачным: каждое значение выводится из следа, определителя и квадратного характеристического многочлена.

Да. Если дискриминант T² - 4D отрицателен, собственные значения образуют пару комплексно-сопряжённых чисел. Классический пример: матрица поворота [[0, -1], [1, 0]].

Калькулятор выводит собственные векторы для различных действительных собственных значений: тогда для каждого корня можно указать простой действительный вектор. Кратный и комплексный случаи требуют дополнительного разбора, поэтому там инструмент ограничивается собственными значениями и их классификацией.

Никакие файлы не загружаются. Элементы обрабатываются компонентом страницы, который вычисляет след, определитель, многочлен и собственные значения.

Сопутствующие инструменты

Калькулятор прогноза роста взрослого

Оцените целевой взрослый рост ребенка по росту биологических родителей, в сантиметрах или футах/дюймах, с типичным целевым диапазоном.

Калькулятор балясин

Введите свободный пролёт перил, ширину балясины и максимально допустимый зазор, чтобы получить точное количество необходимых балясин и равный промежуток между каждой стойкой, не превышающий нормативный предел.

Калькулятор нумерологии

Рассчитайте нумерологические числа имени по пифагорейским или халдейским значениям букв: выражение, стремление души и личность.

Калькулятор длины дуги

Рассчитайте длину дуги окружности по радиусу и центральному углу или по хорде и радиусу, с результатами в градусах и радианах.

Калькулятор Social Security США

Оцените пенсионную выплату Social Security в США по PIA и возрасту начала получения. Сравните месячные и годовые суммы в 62 года, FRA 67 и 70 лет.

Калькулятор разделения чаевых

Разделите счет в ресторане по сумме, проценту чаевых и числу гостей, с итогом и суммой на человека.