Softonic

Калькулятор метода Эйлера

Шаг 1 / 3 Приближение методом Эйлера

Введите уравнение и начальную точку

Для dy/dx = f(x,y) введите только f(x,y). Используйте * для умножения и ^ для степени. Доступные функции: sin, cos, tan, exp, log, sqrt, abs. Аргументы функций заключайте в скобки. В выражении десятичная дробь записывается через точку.

Далее

Получите приближённое решение задачи Коши первого порядка в форме dy/dx = f(x,y), когда известно значение y при начальном x. Введите правую часть уравнения, начальную точку, положительный размер шага и конечное x. Калькулятор выполняет шаги явного метода Эйлера в сторону конечной точки и показывает все промежуточные значения. Результат представляет собой численное приближение, а не точное решение.

Как пользоваться методом Эйлера

  1. 1

    Введите дифференциальное уравнение

    Для dy/dx = x + y введите только x + y в качестве f(x,y). Затем укажите известные начальные координаты x и y.

  2. 2

    Задайте интервал

    Введите положительный размер шага h и конечное x. Калькулятор может двигаться как к большим, так и к меньшим значениям x.

  3. 3

    Прочитайте приближённый результат

    Посмотрите оценку y в конечной точке и таблицу с x, y, наклоном и фактическим размером шага для максимум 200 шагов.

Что вычисляет калькулятор

Начиная с (x₀, y₀), явный метод Эйлера повторяет вычисления yₙ₊₁ = yₙ + hₙ f(xₙ, yₙ) и xₙ₊₁ = xₙ + hₙ. Наклон вычисляется в начале каждого шага. Введённое положительное значение задаёт максимальную длину шага; если конечная точка лежит левее начальной, калькулятор сам назначает шагу отрицательный знак. Когда оставшееся расстояние короче выбранного шага, последний шаг сокращается так, чтобы прийти точно к заданному x.

Для dy/dx = x + y, y(0) = 1, h = 0,1 и конечного x = 0,3:

Шаг x Приближённое y Наклон для следующего шага
0 0 1 1
1 0,1 1,1 1,2
2 0,2 1,22 1,42
3 0,3 1,362 Конец

В таблице калькулятора наклон, использованный при вычислении нового значения, указан в новой строке под заголовком «Наклон в предыдущей точке». Поэтому наклон 1,42 там показан рядом с шагом 3. Точное решение этого примера равно y = 2eˣ - x - 1, что при x = 0,3 даёт примерно 1,3997. Результат метода Эйлера 1,362 меньше, потому что каждый шаг следует касательной, проведённой в начале шага. Меньшее h обычно снижает ошибку для достаточно гладкой задачи, но величина ошибки зависит от уравнения и интервала. Калькулятор не оценивает границу ошибки.

Записывайте умножение явно, например 2*x, x*y или 2*sin(x). Выражение может содержать x, y, скобки, операции +, -, *, /, ^, константы pi и e, а также функции sin, cos, tan, exp, log, sqrt, abs. В десятичных числах внутри выражения используйте точку, например 0.5*y. В отдельных числовых полях допускаются местная десятичная запятая или однозначно читаемая точка; разделители тысяч не используйте.

Описание метода и рекуррентной формулы приведено в OpenStax Calculus Volume 2. Глава LibreTexts о численных методах объясняет влияние размера шага на ошибку приближения.

Часто задаваемые вопросы

Введите положительный размер шага. Если конечное x меньше начального, калькулятор автоматически идёт назад. В таблице показан шаг с фактически использованным знаком.

Последний шаг сокращается до оставшегося расстояния. Например, при h = 0,4 от x = 0 до x = 1 шаги составят 0,4, 0,4 и 0,2; расчёт завершится точно при x = 1.

Нет. Явный метод Эйлера использует наклон касательной в текущей точке, из-за чего накапливается ошибка приближения. Показанное значение является оценкой при конечном x, а не точным символическим решением или гарантированной границей ошибки.

Калькулятор работает с одним уравнением первого порядка, явно заданным как dy/dx = f(x,y), и одним известным начальным значением y. Он не решает уравнения более высокого порядка, системы, неявно заданные уравнения или задачи, где выражение не определено на выбранном пути.

Предел сохраняет таблицу удобной для чтения и ограничивает нагрузку на браузер. Если для интервала требуется больше шагов, увеличьте h или выберите более близкую конечную точку.

Да. CSV-файл содержит неокруглённые числовые значения x и y, наклон, использованный для перехода к каждой строке, и размер шага со знаком. Значения в таблице на экране округляются для удобства чтения.

Расчёт выполняется в браузере. В пошаговом режиме исходные данные сохраняются только в этой вкладке, а URL содержит случайный идентификатор задачи вместо уравнения и значений.

Сопутствующие инструменты

Калькулятор длительности

Рассчитайте длительность между двумя часами в формате HH:MM, десятичных часах, минутах и секундах.

Калькулятор совместимости имен

Введите два имени и получите шуточную оценку совместимости, а также пифагорейское число каждого имени. Инструмент читает только латиницу (от A до Z), поэтому русское имя сначала запишите латинскими буквами.

Калькулятор матриц

Универсальный калькулятор матриц: сложение, вычитание, умножение, транспонирование, обращение и вычисление определителя для любых размерностей. Показывает промежуточные шаги.

Калькулятор прогноза роста взрослого

Получите приблизительную оценку взрослого роста по росту биологических родителей. Инструмент не ставит диагнозов.

Калькулятор «сколько часов назад»

Узнайте точные дату и время, которые были заданное число часов назад от текущего момента.

Калькулятор угла конуса

Рассчитайте полуугол, полный угол, конусность 1:N и диаметральный уклон по большому и малому диаметрам и осевой длине.

Инструмент доступен на других языках