Softonic

Калькулятор Грама-Шмидта

Шаг 1 / 3 Калькулятор Грама-Шмидта

Введите от 2 до 4 векторов, в каждом от 2 до 4 чисел через запятую. У всех векторов должно быть одинаковое число координат. Десятичные дроби пишите через точку.

Далее

Процесс Грама-Шмидта превращает набор векторов в набор взаимно перпендикулярных векторов, которые порождают то же подпространство. Введите от 2 до 4 векторов, в каждом от 2 до 4 чисел, выберите ортогональный или ортонормированный результат, и калькулятор покажет каждый коэффициент проекции, построенный по нему вектор u_k, его длину и единичный вектор e_k. Вычисления точные, поэтому вектор, который не добавляет нового направления, определяется как линейно зависимый, а не теряется из-за округления.

Как пользоваться калькулятором Грама-Шмидта

  1. 1

    Введите векторы

    Запишите по одному вектору в строке, числа разделяйте запятыми, например 1, 1, 0. Нужно от 2 до 4 векторов с одинаковым количеством координат (от 2 до 4). Для десятичных дробей используйте точку, не более четырёх знаков после неё.

  2. 2

    Выберите результат

    Выберите ортонормированные векторы (единичной длины, в десятичном виде) или ортогональные векторы (в десятичном виде и в виде точных дробей, если они достаточно короткие).

  3. 3

    Прочитайте шаги

    На странице результата сначала показан базис, затем каждый шаг: коэффициенты проекций, u_k, квадрат его длины и длина, а также e_k. Пропущенный вектор помечен как линейно зависимый.

Как работает процесс Грама-Шмидта

Для векторов v_1, v_2, …, v_n процесс строит ортогональные векторы u_1, u_2, … по одному:

  • u_1 = v_1
  • u_k = v_k - c_k1 u_1 - c_k2 u_2 - ... - c_k,k-1 u_k-1
  • каждый коэффициент проекции равен c_kj = (v_k · u_j) / (u_j · u_j)

Вычитание проекции убирает из v_k всё, что направлено вдоль предыдущих u_j, поэтому u_k перпендикулярен каждому из них. Если разделить каждый u_k на его длину |u_k| = √(u_k · u_k), получится ортонормированный вектор e_k длины 1.

Пример с решением

Возьмём v_1 = (1, 1, 0), v_2 = (1, 0, 1) и v_3 = (0, 1, 1).

Шаг Вычисление Результат
u_1 v_1 (1, 1, 0)
c_21 (v_2 · u_1) / (u_1 · u_1) = 1/2 1/2
u_2 v_2 - 1/2 u_1 (1/2, -1/2, 1)
c_31, c_32 1/2 и 1/3 1/2, 1/3
u_3 v_3 - 1/2 u_1 - 1/3 u_2 (-2/3, 2/3, 2/3)

Ортонормированные векторы: e_1 ≈ (0,7071; 0,7071; 0), e_2 ≈ (0,4082; -0,4082; 0,8165) и e_3 ≈ (-0,5774; 0,5774; 0,5774).

Линейная зависимость

Если v_k уже лежит в линейной оболочке предыдущих векторов, после вычитания проекций остаётся нулевой вектор. Калькулятор определяет это точно, потому что все числа обрабатываются как дроби и никакой погрешности нет. Такой вектор помечается как зависимый и пропускается, а следующие векторы ортогонализуются относительно уже найденных независимых. Если векторов больше, чем размерность (например, три вектора на плоскости), хотя бы один из них всегда зависим.

Что умеет этот калькулятор

  • От 2 до 4 векторов с 2-4 координатами, все одной длины, с координатами не больше 1 000 000 по модулю и не более чем с четырьмя знаками после запятой.
  • Ортогональные векторы показаны в десятичном виде и в виде точных дробей, если дробь короткая. Единичные векторы показаны десятичными числами, так как для них нужен квадратный корень.
  • Используется стандартное скалярное произведение вещественных чисел. Комплексные векторы, другие скалярные произведения и большие размерности не поддерживаются.

Часто задаваемые вопросы

Ортогональные векторы перпендикулярны, поэтому скалярное произведение любой пары равно 0. Ортонормированные векторы ортогональны и к тому же имеют длину 1. Ортонормированный набор получается делением каждого ортогонального вектора u_k на его длину.

Калькулятор пометит зависимый вектор, объяснит, что его остаток u_k равен нулевому вектору, и пропустит его. Следующие векторы ортогонализуются относительно независимых. На странице результата также указано, сколько из ваших векторов добавляют новое направление.

Да. Метод Грама-Шмидта сохраняет направление первого вектора и подгоняет под него остальные, поэтому другой порядок даёт другой ортогональный набор. Все такие наборы порождают одно и то же подпространство.

Введённые числа превращаются в точные дроби, а проекции считаются без округления, поэтому зависимость определяется надёжно. Ортогональные векторы показываются точными дробями, если они достаточно короткие для чтения. Единичным векторам нужен квадратный корень, поэтому они показаны десятичными числами, округлёнными до четырёх знаков.

Введённые векторы отправляются на сервер для вычисления результата и добавляются в ссылку страницы при переходе между шагами, чтобы расчёт можно было сохранить в закладки или отправить другому человеку. В аккаунте или профиле они не сохраняются.

Сопутствующие инструменты

Калькулятор прогноза роста взрослого

Получите приблизительную оценку взрослого роста по росту биологических родителей. Инструмент не ставит диагнозов.

Калькулятор «сколько часов назад»

Узнайте точные дату и время, которые были заданное число часов назад от текущего момента.

Калькулятор длительности

Рассчитайте длительность между двумя часами в формате HH:MM, десятичных часах, минутах и секундах.

Калькулятор времени ухода с работы

Рассчитайте время ухода по времени прихода, требуемой оплачиваемой работе и неоплачиваемым перерывам. Учитывает смены через полночь и показывает время в 24- и 12-часовом формате.

Калькулятор числа прошедших лет

Установите точную дату за заданное количество лет до настоящего дня. Возможность обратного определения даты для событий, годовщин и других исторических запросов.

Конвертер дней в месяцы

Преобразуйте количество дней в месяцы, недели и годы, используя среднюю продолжительность месяца, 30,437 дня, готовый результат для планирования и оценок.

Инструмент доступен на других языках