Калькулятор линейного приближения функции

Это два названия одной идеи. Линеаризация это функция L(x) = f(a) + f’(a)(x - a), уравнение касательной в точке a. Линейное приближение это то, что с ней делают: берут L(x) в качестве оценки f(x) для x, близкого к a. Калькулятор даёт и то и другое, прямую и оценку.

Символьно, по тем же правилам, по которым вы считаете вручную: производная степени, произведения, частного и сложной функции, а также табличные производные sqrt, exp, ln, log, тригонометрических и обратных тригонометрических функций и abs. Затем он вычисляет значение этой производной в точке a, поэтому f’(a) получается точным с точностью до обычного округления чисел с плавающей запятой, а не численной оценкой. Найденная производная показана в решении, слегка приведённая в порядок, но не упрощённая до конца, поэтому она может выглядеть иначе, чем ваш ответ, и при этом быть ему равна.

Здесь log(x) это десятичный логарифм, а ln(x) это натуральный, как на большинстве инженерных калькуляторов. В российских учебниках десятичный логарифм обычно обозначают lg, но такую запись калькулятор не распознаёт: пишите log(x). В некоторых программах log читается как натуральный логарифм, поэтому проверьте, какой из них имеется в виду в вашей задаче. Если в функции есть log, калькулятор напомнит об этом перед результатом.

Всегда в радианах. Правила дифференцирования, например то, что производная sin(x) равна cos(x), верны только в радианах. Чтобы работать с углом 30 градусов, введите a = pi/6, а для 45 градусов введите pi/4. И в точке a, и в x можно использовать константы вроде pi/6, e или sqrt(2).

Фиксированного расстояния нет: всё зависит от того, как сильно изгибается график вблизи a. Погрешность растёт как квадрат расстояния до a, поэтому при вдвое меньшем расстоянии она уменьшается примерно вчетверо. Добавьте своё x и посмотрите на абсолютную и относительную погрешность. Если погрешность слишком велика для вашей задачи, выберите точку a ближе к x.

Либо у функции нет конечного значения в точке a, как у ln(x) в 0 или 1/x в 0, либо значение есть, но нет конечного наклона, как у abs(x) в 0 (излом) или sqrt(x) в 0 (вертикальная касательная). В редких случаях, например для x*abs(x) в 0, производная существует, но правила дают там 0/0. Тогда калькулятор сообщает, что наклона нет, и ничего не угадывает. Во всех этих случаях помогает соседняя точка.

Значения вычисляются с двойной точностью, это около 15 значащих цифр, а показываются с 7. Знак равенства означает, что число показано полностью, а знак приближённого равенства означает, что оно округлено. Когда x настолько близко к a, что приближение и точное значение совпадают почти во всех 15 цифрах, погрешность показывается только с теми цифрами, которые имеют смысл.

Нет. Функция и числа, которые вы вводите, отправляются на наш сервер для расчёта результата и добавляются в адрес страницы при переходе между шагами, чтобы расчёт можно было добавить в закладки или отправить кому-то. Ни в какой учётной записи или профиле они не сохраняются.