Softonic

Калькулятор проекции вектора

Шаг 1 / 3 Калькулятор проекции вектора

Введите компоненты через запятую, пробел или точку с запятой. Для десятичных дробей используйте точку.

Далее: вектор b

Проекция вектора a на вектор b это та часть a, которая направлена вдоль b: тень, которую a отбрасывает на прямую, заданную вектором b. Введите координаты обоих векторов, и калькулятор вернёт вектор проекции, скалярную проекцию, оставшуюся ортогональную составляющую, скалярное произведение и угол между векторами. Он работает в 2D, 3D и для любого числа координат до 20, а если b нулевой вектор, сообщит об этом: у нулевого вектора нет направления, на которое можно проецировать.

Как спроецировать один вектор на другой

  1. 1

    Введите вектор a

    Впишите координаты вектора, который нужно спроецировать, через запятую, пробел или точку с запятой, например 3, 4 или 1, 2, 3. Десятичным разделителем служит точка.

  2. 2

    Введите вектор b

    Впишите вектор, задающий направление. В нём должно быть столько же координат, сколько в a, и он не может состоять только из нулей.

  3. 3

    Посмотрите проекцию

    На странице результатов показаны проекция a на b, скалярная проекция, ортогональная составляющая, угол, скалярное произведение и длина проекции. Вектор проекции можно скопировать.

Что говорит формула проекции вектора

Векторная проекция a на b равна

proj_b(a) = (a · b / |b|²) b

где a · b это скалярное произведение, а |b|² скалярное произведение b на себя. Дробь это одно число, которое масштабирует b, поэтому проекция всегда лежит на прямой, заданной b. Если дробь отрицательна, проекция направлена противоположно b, а это бывает, когда угол между векторами больше 90 градусов.

Какие числа показывает калькулятор

Результат Формула Что означает
Проекция (a · b / |b|²) b Составляющая a вдоль b в виде вектора
Скалярная проекция a · b / |b| Длина этой составляющей со знаком
Ортогональная составляющая a - proj_b(a) Остаток от a, перпендикулярный b
Угол arccos(a · b / (|a| |b|)) От 0 до 180 градусов
Длина проекции |a · b| / |b| Скалярная проекция без знака

Сложите проекцию и ортогональную составляющую, и получится a. В этом и смысл разложения: a делится на часть вдоль b и часть под прямым углом к b.

Примеры расчётов

a b Проекция Скалярная проекция Угол
(3, 4) (5, 0) (3, 0) 3 53,130102°
(2, 3) (0, 5) (0, 3) 3 33,690068°
(1, 0) (-2, 0) (1, 0) -1 180°
(1, 0) (0, 1) (0, 0) 0 90°
(1, 2, 3) (4, -5, 6) (0,623377; -0,779221; 0,935065) 1,367527 68,562447°

В первой строке a · b = 3 × 5 + 4 × 0 = 15, а |b|² = 25, поэтому коэффициент равен 0,6, и проекция составляет 0,6 × (5, 0) = (3, 0). Ортогональная составляющая равна (3, 4) - (3, 0) = (0, 4), она перпендикулярна (5, 0).

Скалярная и векторная проекция

Скалярная проекция это одно число со знаком, а векторная проекция получается умножением этого числа на единичный вектор b. В учебниках скалярную проекцию иногда называют компонентой a вдоль b. В некоторых книгах слово «проекция» относится именно к скаляру, поэтому уточните, что имеется в виду в вашем курсе, прежде чем переписывать ответ.

Частые ошибки

  • Проекция на не тот вектор. proj_b(a) и proj_a(b) в общем случае разные векторы.
  • Путаница в размерностях. У обоих векторов должно быть одинаковое число координат.
  • Использование b = (0, 0). Формула делит на |b|², поэтому у нулевого вектора проекции нет.
  • Потерянный знак. Отрицательная скалярная проекция означает, что a отклоняется от b.

Часто задаваемые вопросы

Вместо числа калькулятор покажет сообщение об ошибке. Проекция требует деления на квадрат длины b, а у нулевого вектора длина равна нулю, поэтому направления для проецирования нет. Вернитесь и введите b, в котором есть хотя бы одна ненулевая координата.

Да. Тогда проекция и ортогональная составляющая равны нулевому вектору, а скалярная проекция равна 0. Угол показывается как неопределённый, потому что для угла нужны два вектора, у каждого из которых есть направление.

От 1 до 20. Используйте два числа для 2D, три для 3D или больше для более высоких размерностей. У векторов a и b должно быть одинаковое число координат, иначе калькулятор попросит исправить несоответствие.

Разделяйте координаты запятыми, пробелами или точками с запятой, а десятичным разделителем используйте точку. Скобки игнорируются, поэтому подойдут и 3, 4, и (3; 4). Научная запись, например 1.5e-3, тоже принимается.

Угол между a и b больше 90 градусов, поэтому a частично направлен против b. Векторная проекция тогда направлена противоположно b, а скалярное произведение отрицательно.

Да. Это a минус проекция, и её скалярное произведение с b равно нулю с точностью до крошечных погрешностей округления. Результаты показываются с шестью знаками после запятой, поэтому точные значения вроде 53,130102 градуса округлены.

Проекция опускает a на прямую, заданную b. Отражение зеркально переворачивает a относительно этой прямой и равно удвоенной проекции минус a. Калькулятор выдаёт проекцию и ортогональную составляющую, по ним отражение легко вычислить вручную.

Сопутствующие инструменты

Калькулятор прогноза роста взрослого

Получите приблизительную оценку взрослого роста по росту биологических родителей. Инструмент не ставит диагнозов.

Калькулятор «сколько часов назад»

Узнайте точные дату и время, которые были заданное число часов назад от текущего момента.

Калькулятор длительности

Рассчитайте длительность между двумя часами в формате HH:MM, десятичных часах, минутах и секундах.

Калькулятор времени ухода с работы

Рассчитайте время ухода по времени прихода, требуемой оплачиваемой работе и неоплачиваемым перерывам. Учитывает смены через полночь и показывает время в 24- и 12-часовом формате.

Калькулятор учебных дней

Считайте будние дни (с понедельника по пятницу) между двумя датами с разбивкой по выходным и по дням недели. Полезно для планирования семестра, заданий и учёта посещаемости.

Калькулятор числа прошедших лет

Установите точную дату за заданное количество лет до настоящего дня. Возможность обратного определения даты для событий, годовщин и других исторических запросов.

Инструмент доступен на других языках