Калькулятор арифметической прогрессии

Формулы арифметической прогрессии

У арифметической прогрессии постоянный шаг, разность d, между соседними членами. Всю работу выполняют две формулы:

n-й член:  a_n = a₁ + (n − 1) · d
сумма:     S_n = n/2 · (2·a₁ + (n − 1) · d)

Здесь a₁, первый член, d, величина, прибавляемая на каждом шаге (она может быть отрицательной для убывающей прогрессии), а n, количество членов, которые вы считаете. Формула суммы, это просто среднее первого и последнего члена, умноженное на количество членов.

Разобранный пример

Возьмём a₁ = 2 и d = 3. Прогрессия: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29 …

Чтобы найти 10-й член:

a₁₀ = 2 + (10 − 1) · 3 = 2 + 27 = 29

Чтобы сложить первые 10 членов:

S₁₀ = 10/2 · (2·2 + 9·3) = 5 · (4 + 27) = 5 · 31 = 155

Итак, 10-й член равен 29, а накопленная сумма, 155.

Члены, разности и частичные суммы

Обратите внимание, что каждый член возрастает ровно на d = 3, признак арифметической (а не геометрической) прогрессии. Частичная сумма Sₙ растёт быстрее самих членов, потому что каждый шаг добавляет всю накопленную линию, а не только последнее значение.

Быстрая проверка: сумма равна количеству членов, умноженному на среднее первого и последнего члена. Для n = 10 это 10 · (2 + 29) ÷ 2 = 10 · 15,5 = 155, что в точности совпадает с таблицей.

Частые ошибки

• Ошибка на единицу в n. В формуле используется (n − 1)·d, а не n·d. К первому члену не прибавляется ни одной разности, поэтому a₁ = 2, а не 5.
• Путаница арифметической и геометрической. Арифметические прогрессии прибавляют постоянную разность d; геометрические умножают на постоянный знаменатель. Если ваши шаги всё время удваиваются, вам нужен инструмент для геометрической прогрессии.
• Отрицательная разность допустима. Разность d = −4 даёт убывающую прогрессию; действуют те же формулы.