Softonic

Калькулятор выделения полного квадрата

Шаг 1 / 3 Форма вершины
Преобразуйте ax² + bx + c в форму a(x − h)² + k.
Далее

Для квадратного трёхчлена ax²+bx+c выделение полного квадрата переписывает его в виде a(x-h)²+k, сразу показывая вершину параболы (h, k). Введите a, b и c, и калькулятор вернёт вершинную форму a(x − h)² + k вместе с координатами вершины (h, k). Полезно для математического анализа, физики (движение тела, брошенного под углом), задач оптимизации и домашних заданий по алгебре.

Как работает выделение полного квадрата

  1. 1

    Введите коэффициенты a, b, c

    Квадратный трёхчлен ax² + bx + c. Вводите десятичные дроби; обыкновенную дробь вида 1/2 указывайте как 0,5.

  2. 2

    Вынесите a за скобки из членов с x² и x

    a(x² + (b/a)x) + c, отделяет свободный член от членов с x.

  3. 3

    Прибавьте и вычтите (b/(2a))²

    Образуется полный квадрат: a(x² + (b/a)x + (b/(2a))²) − a(b/(2a))² + c.

  4. 4

    Сверните до вершинной формы

    a(x + b/(2a))² + (c − b²/(4a)) = a(x − h)² + k, где h = −b/(2a) и k = c − b²/(4a).

Разобранный пример: 2x² + 8x + 5

Шаг 1, вынесите a = 2 за скобки из членов с x: 2(x² + 4x) + 5

Шаг 2, половина от 4 равна 2, в квадрате, 4. Прибавьте и вычтите 4 внутри скобок: 2(x² + 4x + 4 − 4) + 5

Шаг 3, разбейте на полный квадрат и остаток: 2((x + 2)² − 4) + 5

Шаг 4, раскройте множитель 2: 2(x + 2)² − 8 + 5

Шаг 5, упростите свободный член: 2(x + 2)² − 3

Вершинная форма: a = 2, h = −2, k = −3 → вершина в точке (−2, −3).

Общая формула

Для ax² + bx + c:

  • h = −b / (2a)
  • k = c − b² / (4a)
  • Вершинная форма: a(x − h)² + k

Зачем выделять полный квадрат?

  • Мгновенно находить вершину для построения параболы.
  • Решать квадратные уравнения без формулы корней, особенно удобно для иррациональных корней.
  • Выводить саму формулу корней: выделение полного квадрата в ax² + bx + c = 0 даёт x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
  • Математический анализ: поиск экстремумов квадратичных функций без вычисления производных.
  • Движение тела, брошенного под углом: максимальная высота брошенного вверх мяча, это k в вершинной форме уравнения высоты.
  • Окружности и конические сечения: выделение полного квадрата по членам x и y преобразует x² + y² + Dx + Ey + F = 0 в (x−h)² + (y−k)² = r², делая центр и радиус очевидными.

Геометрия параболы из вершинной формы

  • Вершина: (h, k).
  • Ось симметрии: x = h.
  • Ветви направлены вверх, если a > 0, и вниз, если a < 0.
  • Наибольшее или наименьшее значение функции: k.
  • Ширина: уже при |a| > 1, шире при |a| < 1.
  • Корни (если действительные): x = h ± √(−k/a). Действительны только при k/a ≤ 0.

Типичные ошибки

  • Забыть раскрыть множитель a после выделения полного квадрата в скобках. Поправочный член при этом меняется.
  • Ошибки знака в b/(2a): h = −b/(2a), а не +b/(2a).
  • Не делить средний коэффициент пополам перед возведением в квадрат. Каноническая формулировка: «половину от b/a, затем в квадрат».
  • Оставить a ≠ 1 без внимания: всегда сначала выносите его за скобки для упрощения.

Частный случай: a = 1

При a = 1 процесс упрощается:

  • x² + bx + c → (x + b/2)² + (c − b²/4)
  • h = −b/2, k = c − b²/4

Отрицательное k означает действительные корни

Если знак k противоположен знаку a, парабола пересекает ось x. Решите a(x − h)² = −k, чтобы найти точки пересечения.

Часто задаваемые вопросы

Выделение полного квадрата сразу показывает вершину (форму графика), а формула корней даёт корни. У обоих есть своё применение: корни, когда нужно найти, где y = 0; вершинная форма, когда нужны форма, максимум, минимум или ось симметрии.

Вводите коэффициенты десятичными дробями; обыкновенные дроби вроде 1/2 или 3/4 задавайте как 0,5 или 0,75. Результаты вычисляются с обычной для калькулятора точностью с плавающей запятой.

Эта версия работает с квадратными трёхчленами от одной переменной. Для конических сечений (окружностей, эллипсов) по x и y выделяйте полный квадрат по каждой переменной отдельно, процесс тот же, применяется дважды.

Вершинная форма по-прежнему работает: парабола просто не пересекает ось x, поэтому действительных корней нет. Калькулятор продолжает выдавать вершинную форму и координаты вершины.

Сопутствующие инструменты

Калькулятор балясин

Введите свободный пролёт перил, ширину балясины и максимально допустимый зазор, чтобы получить точное количество необходимых балясин и равный промежуток между каждой стойкой, не превышающий нормативный предел.

Калькулятор Social Security США

Оцените пенсионную выплату Social Security в США по PIA и возрасту начала получения. Сравните месячные и годовые суммы в 62 года, FRA 67 и 70 лет.

Калькулятор производительности осушителя воздуха

Оцените производительность переносного осушителя по площади и сырости помещения в литрах и американских пинтах в сутки.

Калькулятор юбки-солнце

Рассчитайте радиусы талии и низа для четверти, половины, трёх четвертей или полного круга с прибавками и припусками.

Калькулятор длительности

Рассчитайте длительность между двумя часами в формате HH:MM, десятичных часах, минутах и секундах.

Калькулятор нумерологии

Рассчитайте нумерологические числа имени по пифагорейским или халдейским значениям букв: выражение, стремление души и личность.