Softonic

Калькулятор ковариации

Шаг 1 / 3
Далее

Ковариация показывает, как две переменные изменяются совместно. Положительная ковариация означает, что они склонны двигаться в одном направлении, отрицательная, в противоположных, а ноль указывает на отсутствие линейной зависимости. В отличие от корреляции, ковариация измеряется в квадрате исходных единиц, поэтому её величину трудно интерпретировать без контекста. Этот калькулятор вычисляет как выборочную ковариацию (деление на n−1), так и генеральную ковариацию (деление на n).

Как рассчитать ковариацию

  1. 1

    Вставьте парные данные X/Y

    По одному значению X и Y в каждой строке. Разделяйте запятой, табуляцией или пробелом. Одинаковое количество значений в каждом столбце.

  2. 2

    Показываются обе версии

    Калькулятор всегда показывает обе: выборочную ковариацию (деление на n−1) и генеральную (деление на n).

  3. 3

    Выполните расчёт

    Калькулятор вычисляет средние значения и произведения отклонений, а затем делит результат на n или на n−1.

  4. 4

    Прочитайте результат

    Прочитайте оба значения ковариации. Положительное значение означает, что переменные, как правило, движутся вместе, отрицательное, что в противоположных направлениях.

Формулы

Выборочная ковариация: cov(X, Y) = Σ((xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)) / (n - 1)

Генеральная ковариация: cov(X, Y) = Σ((xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)) / n

Делитель n - 1 (поправка Бесселя) делает выборочную ковариацию несмещённой оценкой генеральной ковариации. Статистические программы по умолчанию используют выборочную версию.

Главное: это знак

Знак Значение
Положительный X и Y, как правило, одновременно оказываются выше или ниже своих средних
Отрицательный Когда X выше среднего, Y обычно ниже среднего
Ноль Линейной закономерности нет (нелинейная связь возможна)

Величина зависит от единиц измерения: для взрослых cov(рост_см, вес_кг) составляет примерно +70, но если перейти к росту в метрах, она падает до +0,7, связь та же, число другое. Именно поэтому чаще сообщают корреляцию.

Ковариация и корреляция

корреляция = ковариация / (σ_X × σ_Y)

Корреляция, это безразмерная версия: всегда находится в интервале [-1, +1] и сравнима между разными наборами данных. Ковариация полезна в основном внутри формул (дисперсия портфеля, регрессия, PCA), а не как итоговая статистика.

Где ковариация используется напрямую

  • Теория портфеля: дисперсия портфеля = Σ wᵢ wⱼ cov(rᵢ, rⱼ). Нужна именно ковариация, а не корреляция, поскольку важны веса и дисперсии.
  • Линейная регрессия: оценка наклона β = cov(X, Y) / var(X).
  • Метод главных компонент (PCA): диагонализируется именно матрица ковариаций.
  • Обработка сигналов: взаимная ковариация измеряет сходство сигналов при разных задержках.

Частые ошибки

  • Путаница между n и n−1: на малых наборах данных выборочная и генеральная ковариация могут различаться на несколько процентов и вызывать проблемы с воспроизводимостью. Определите, какая нужна, и укажите это.
  • Интерпретация величины: ковариация в 50 сама по себе не является «большой»; она целиком зависит от единиц измерения и дисперсии X и Y.
  • Считать нулевую ковариацию признаком независимости: нулевая ковариация означает лишь отсутствие линейной связи. Две переменные могут иметь ковариацию 0 и при этом быть полностью предсказуемыми нелинейно (например, Y = X² при симметричном X).

Часто задаваемые вопросы

Выборочную (деление на n−1), когда ваши данные, это выборка из более крупной совокупности; это обычный случай в исследованиях. Генеральную (деление на n), только когда ваш набор данных буквально содержит все возможные наблюдения. По умолчанию выбирайте выборочную, если не уверены.

Потому что ковариация выражается в произведении двух единиц измерения. Если X, в рублях, а Y, в штуках, то ковариация будет в «рубле-штуках». Если нужно безразмерное число, переведите в корреляцию (разделите на σ_X × σ_Y).

Нет. |cov(X, Y)| ≤ σ_X × σ_Y (неравенство Коши–Шварца). Равенство выполняется только когда Y, идеальная линейная функция от X. Если ваш калькулятор показывает большую ковариацию, значит, есть ошибка.

Не обязательно. Нулевая ковариация означает отсутствие линейной связи. Функция Y = sin(X) на интервале [0, 2π] имеет ковариацию 0 с X, но полностью ею определяется. Только для совместно нормальных переменных нулевая ковариация означает независимость.

Сопутствующие инструменты

Калькулятор балясин

Введите свободный пролёт перил, ширину балясины и максимально допустимый зазор, чтобы получить точное количество необходимых балясин и равный промежуток между каждой стойкой, не превышающий нормативный предел.

Калькулятор производительности осушителя воздуха

Оцените производительность переносного осушителя по площади и сырости помещения в литрах и американских пинтах в сутки.

Калькулятор юбки-солнце

Рассчитайте радиусы талии и низа для четверти, половины, трёх четвертей или полного круга с прибавками и припусками.

Калькулятор длительности

Рассчитайте длительность между двумя часами в формате HH:MM, десятичных часах, минутах и секундах.

Калькулятор Social Security США

Оцените пенсионную выплату Social Security в США по PIA и возрасту начала получения. Сравните месячные и годовые суммы в 62 года, FRA 67 и 70 лет.

Калькулятор нумерологии

Рассчитайте нумерологические числа имени по пифагорейским или халдейским значениям букв: выражение, стремление души и личность.