Softonic

Интегральный калькулятор

Шаг 1 / 4 Integral estimate

Введите выражение в x (или любую переменную), и калькулятор вернёт либо символическое антидифференциалное производное, либо числовое значение в заданном интервале. Поддерживается работа с полиномиальными, тригонометрическими, экспоненциальными, логарифмическими и рациональными функциями, а также стандартные замены и интегрирование по частям; все шаги вычислений отображаются для проверки результатов работы.

Как оценить интеграл

  1. 1

    Введите интегранд

    Укажите функцию в виде `x^2 + 3*sin(x)` или `1 / (x^2 + 1)`. Допускается неявное умножение с использованием пробелов.

  2. 2

    Выберите определённый или неопределённый

    Для определённого интеграла задайте нижние и верхние пределы (области поддержки `inf` и `-inf`).

  3. 3

    Вычислить

    Инструмент сначала пытается найти символическое решение; если это не удаётся, он переходит к численному методу квадратурного суммирования.

  4. 4

    Прочитайте шаги

    Опциональное пошаговое разложение позволяет представить процесс замены, интегрирования по частям или разложения на частные фракции.

Распространённые антидеривативы

f(x) Интеграл
x^n (n != -1) x^(n+1) / (n+1) + C
1/x ln|x| + C
e^x e^x + C
синус(x) – косинус(x) + C
cos(x) sin(x) + C
сек²(х) тан(х) + C
1 / (x^2 + 1) arctan (x) + C
1 / sqrt (1 - x^2) arcsin (x) + C

Техники, которые инструмент использует в порядке

  1. Основные правила — степень, экспоненциальная функция, тригонометрия.
  2. Замена (u-замена) — заменить функцию и её производную в интегранде.
  3. Интеграция по частям — ∫u dv = uv - ∫v du для продуктов различных типов функций.
  4. Частные дроби — для рациональных интеграндов P(x)/Q(x) и deg(P) < deg(Q).
  5. Тригонометрические идентичности — для произведений синусов и косинусов.
  6. Численная квадратура — метод Гаусса–Кронрода для определённых интегралов в случае отсутствия закрытого выражения.

Обозначение определённого интеграла

∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

Основной теорема гласит: если F является антидифференциалом от f, то определённый интеграл от a до b равен F(b) - F(a). Программное средство сначала вычисляет значение F, а затем подставляет его в пределы интегрирования.

Найтичные ошибки

– Отмена использования кода + C. Каждый неопределённый интеграл содержит константу интегрирования; программа автоматически её выводит, тогда как студенты, пишущие вручную, часто её забывают. – Неправильные пределы для неправильных интегралов: ∫_0^∞ e^(-x) dx = 1, но не ∫_(-∞)^∞ e^(-x^2) dx = sqrt(π). Обязательно проверяйте сходимость. – Используйте арктан вместо арктана, когда знаменатель представляет собой выражение вида (x-a)(x-b) с реальными корнями; речь идет о логарифме, а не об арктане. – Заблуждение в применении правила цепи при замене переменной на у: если u = 3x, то следует использовать du = 3 dx, а не du = dx.

Когда не существует закрытой формы

Некоторые интегралы просто не имеют элементарного антидифференциала — например, e^(-x^2), sin(x)/x и 1/ln(x). Однако в заданном интервале они имеют числовое значение, которое программа вычисляет с высокой точностью.

Часто задаваемые вопросы

Для определённого интеграла программа возвращается к численному методу квадратурирования (Гаусса–Кронрода) и возвращает значение с оценкой ошибки. Для неопределённого интеграла, у которого нет элементарной антидифференциальной функции, программа указывает это и предлагает в качестве альтернативы рядовое разложение.

Да. Оберните выражение для уточнения значения переменной, например: integrate(t^2, t). Подойдут также переменные из одного символа.

Да. Включите/выключите опцию «показ шагов» — инструмент будет выводить каждый применённый метод замены, выбор компонентов или разложение на частные дроби по отдельным строкам.

Да, однако для получения чёткого результата может потребоваться разделение интервала в точках пересечения с нулевым значением. Инструмент обрабатывает данные \|x\|, автоматически определяя знаки значений по возможности.