Калькулятор приведённой ступенчатой формы (RREF)

Что такое приведённая ступенчатая форма

Матрица находится в приведённой ступенчатой форме, если каждая ненулевая строка начинается с ведущей единицы, ведущая единица каждой следующей строки расположена правее ведущей единицы предыдущей, все прочие элементы ведущего столбца равны нулю, а полностью нулевые строки находятся внизу. Эти ведущие единицы называют ведущими элементами, или пивотами.

RREF однозначно показывает числовую структуру матрицы. Ведущие столбцы указывают положения ведущих элементов, а остальные столбцы являются свободными. Ранг равен числу ведущих элементов. Для матрицы с n столбцами вычисляемый здесь дефект, то есть размерность ядра, равен n минус ранг и совпадает с числом свободных столбцов.

Нумерация столбцов в этом инструменте начинается с 1. Если в результате указаны ведущие столбцы 1 и 3, это первый и третий столбцы введённой матрицы.

Какие преобразования строк показаны

Калькулятор использует три стандартных вида элементарных преобразований строк:

• Перестановка двух строк.
• Умножение строки на ненулевое число.
• Замена строки разностью этой строки и кратной другой строки.

Для каждого ведущего столбца калькулятор выбирает из оставшихся строк ту, где возможный ведущий элемент имеет наибольший модуль. Эта операция частичного выбора ведущего элемента повышает численную устойчивость, поскольку позволяет не делить на меньшее доступное значение. Выбранная строка переносится на нужное место, её ведущий элемент нормируется до 1, а элементы над ним и под ним обнуляются. После каждого преобразования в списке элементарных операций отображается новое состояние матрицы.

Корректные последовательности преобразований могут различаться. Итоговая приведённая ступенчатая форма будет одной и той же, за исключением небольших эффектов конечной точности вычислений.

Разобранный числовой пример

Для исходной матрицы

приведённая ступенчатая форма равна

В столбцах 1 и 3 находятся два ведущих элемента, поэтому ранг равен 2. Столбец 2 свободный, а дефект равен 3 - 2 = 1. Калькулятор показывает точную последовательность преобразований строк, использованную для получения результата, а не только итоговую матрицу.

Ранг, дефект, ведущие и свободные столбцы

Ранг равен числу позиций ведущих элементов в приведённой матрице. Он описывает размерность пространства столбцов матрицы и также совпадает с числом ненулевых строк в RREF.

Дефект, или нуллитет, равен размерности ядра матрицы. Для матрицы размера m × n и ранга r выполняется теорема о ранге и дефекте:

ранг + дефект = число столбцов, или r + дефект = n.

Калькулятор получает эти значения непосредственно из численного преобразования. Если свободных столбцов нет, дефект равен нулю. У широкой прямоугольной матрицы может быть несколько свободных столбцов, а ранг матрицы с зависимыми или нулевыми строками может быть меньше числа её строк.

Правила ввода и численный допуск

Вводите каждую строку матрицы на отдельной строке текста. На русской странице разделяйте числа пробелами, точками с запятой (;) или вертикальными чертами (|), поскольку запятая служит десятичным разделителем. Пустые строки игнорируются, но все непустые строки должны иметь одинаковую длину. Допускаются целые, десятичные числа и научная запись, например 2,5e-3. Каждое значение должно быть конечным и находиться в диапазоне от -1000000 до 1000000.

Калькулятор использует арифметику с плавающей точкой. Во время преобразований значения с модулем меньше 1e-10 считаются нулевыми. Этот допуск не позволяет небольшим остаткам округления выглядеть как ложные ведущие элементы, однако почти вырожденные матрицы следует проверять с учётом требований к точности в вашей учебной или прикладной задаче.

Чего этот калькулятор не делает

Это инструмент для численного преобразования матриц, а не система символьной алгебры. Он не принимает переменные, дроби в виде выражений, радикалы или формулы. Он не вычисляет определитель или обратную матрицу, не строит параметрическое решение, не преобразует строки в уравнения и не определяет совместность отдельно описанной системы.

Можно ввести числовую расширенную матрицу и изучить её преобразование, но инструмент рассматривает все столбцы как части одной матрицы. Он не распознаёт границу расширения и не считает последний столбец столбцом свободных членов. Используйте показанную RREF и сведения о столбцах как матричный результат, а затем применяйте соглашения, необходимые в вашей задаче по линейной алгебре.