Softonic

Калькулятор матриц

Шаг 1 / 3
Что нужно вычислить?
Далее: ввод значений

Выберите операцию, введите одну или две матрицы размером до 10 × 10, и калькулятор сделает остальное: сложение, вычитание, умножение на число или на матрицу, транспонирование, обратную матрицу, определитель, ранг, приведённый ступенчатый вид или след. Результаты остаются точными, в виде дробей, а для определителя, обратной матрицы, ранга и приведённого ступенчатого вида вы видите каждое элементарное преобразование строк. Полезно для домашних заданий по линейной алгебре, инженерных проверок, преобразований в компьютерной графике и всякий раз, когда не хочется вручную приводить матрицу к ступенчатому виду на калькуляторе с крошечными кнопками.

Как вычислять на матрицах

  1. 1

    Выберите операцию

    Сложите, вычтите или перемножьте A и B, умножьте A на число k или найдите транспонированную матрицу, определитель, обратную матрицу, ранг, приведённый ступенчатый вид или след A.

  2. 2

    Введите матрицы

    Каждую строку матрицы с новой строки, элементы через пробел или точку с запятой. Подойдут целые и отрицательные числа, десятичные дроби (`0,5`) и обыкновенные дроби (`1/3`), до 10 строк и 10 столбцов.

  3. 3

    Посмотрите результат

    Ответ точный: дроби остаются дробями, а у вырожденной матрицы определитель равен ровно 0. Если в ответе есть дроби, под ним показана десятичная запись, округлённая до 6 знаков после запятой.

  4. 4

    Разберите шаги

    Для определителя, обратной матрицы, ранга и приведённого ступенчатого вида показано каждое преобразование строк, по одному ведущему столбцу за раз.

Операции и их правила размерности

Операция Правило Размерности результата
A + B Одинаковые размерности m×n
A − B Одинаковые размерности m×n
k · A Любая A как у A
A · B столбцы(A) = строки(B) строки(A)×столбцы(B)
A^T (транспонир.) Любая A n×m
A^−1 (обращение) A квадратная и det(A) ≠ 0 n×n
det(A) A квадратная скаляр
rank(A) Любая A скаляр
rref(A) Любая A как у A
trace(A) A квадратная скаляр

Почему умножение матриц некоммутативно

Для общих матриц A и B, AB ≠ BA, даже когда оба произведения определены. Каждый элемент AB, это скалярное произведение строки A на столбец B; перестановка порядка скалярно перемножает другие строки и столбцы. Коммутирующие матрицы, это исключение (кратные единичной, диагональные матрицы с разными элементами, некоторые вращения с общей осью).

Быстрый тест на обратимость

  • Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда det(A) ≠ 0.
  • Обратима ⇔ полный ранг ⇔ столбцы линейно независимы ⇔ тривиальное нуль-пространство.
  • Для 2×2: A^−1 = 1/det(A) · [[d, −b], [−c, a]].
  • Для больших матриц калькулятор использует метод Гаусса-Жордана (дополнить I, привести строки к [I | A^−1]).

Частые подводные камни

  • Несоответствия размерностей. Самая частая ошибка. Калькулятор отмечает их заранее и говорит, какие именно размерности не согласуются.
  • Почти вырожденные матрицы. В программах, считающих с плавающей точкой, матрица с определителем, близким к нулю, даёт обратную, полную ошибок округления, а вырожденная матрица может получить крошечный ненулевой определитель вроде 1,7 · 10⁻¹⁷. Этот калькулятор работает с точными дробями: у вырожденной матрицы определитель равен ровно 0, а почти вырожденная получает точную обратную, у которой просто очень большие элементы.
  • Дроби и десятичные числа. Введите 1/3 или 0,25, и любая операция останется точной, потому что сложение, умножение, исключение и обращение рациональных чисел всегда дают рациональные числа. Введённые десятичные дроби возвращаются десятичными, если у ответа конечная десятичная запись; иначе вы получите обыкновенную дробь и её десятичное значение, округлённое до 6 знаков после запятой.

Применения вне домашних заданий

  • Компьютерная графика: матрицы преобразований 4×4 для перемещения, вращения, масштабирования в 3D.
  • Физика: тензоры напряжений и инерции.
  • Машинное обучение: матрицы весов в плотных слоях; ковариационные матрицы; PCA.
  • Сети и модели Маркова: матрицы переходов и их степени.
  • Экономика: модели вход-выход (Леонтьев).

Часто задаваемые вопросы

До 10 строк и 10 столбцов в каждой матрице. Этого хватает для домашних заданий, подготовки к экзаменам и большинства инженерных проверок. Для систем побольше используйте численную библиотеку, например NumPy или Octave.

Да, во всех операциях. Вычисления идут в точных дробях, поэтому 1/3 остаётся 1/3, а у вырожденной матрицы определитель равен ровно 0, а не крошечному остатку вроде 1,7 · 10⁻¹⁷. Если в ответе есть дроби, показывается и десятичное значение, округлённое до 6 знаков после запятой.

Метод Гаусса-Жордана: дополнить A единичной матрицей, привести строки к приведенному ступенчатому виду. Если левая половина становится I, правая половина, это A^−1; если нет, A вырождена и не имеет обратной.

Нет, этот калькулятор только для вещественных. Для комплексных матриц используйте специализированный инструмент для комплексных матриц.

Да. Введённые матрицы отправляются на наш сервер, который выполняет вычисления, а между шагами калькулятора они передаются в ссылке страницы, поэтому попадают и в историю браузера.

Сопутствующие инструменты

Калькулятор прогноза роста взрослого

Получите приблизительную оценку взрослого роста по росту биологических родителей. Инструмент не ставит диагнозов.

Калькулятор «сколько часов назад»

Узнайте точные дату и время, которые были заданное число часов назад от текущего момента.

Калькулятор длительности

Рассчитайте длительность между двумя часами в формате HH:MM, десятичных часах, минутах и секундах.

Калькулятор времени ухода с работы

Рассчитайте время ухода по времени прихода, требуемой оплачиваемой работе и неоплачиваемым перерывам. Учитывает смены через полночь и показывает время в 24- и 12-часовом формате.

Калькулятор совместимости имен

Введите два имени и посмотрите, как сочетаются их числа выражения и стремления души, со всеми шагами расчёта. Кириллица считается по русской таблице. Для развлечения.

Калькулятор угла конуса

Рассчитайте полуугол, полный угол, конусность 1:N и диаметральный уклон по большому и малому диаметрам и осевой длине.

Инструмент доступен на других языках