Калькулятор треугольника
Дайте треугольнику любую три данные: три стороны (треугольник со сторонами S, S, S), две стороны и включённый угол (треугольник S, S, A), два угла и одну сторону (треугольник S, A, S) и т.д., — и все остальные параметры будут полностью определены. Этот калькулятор автоматически применяет закон синусов, закон косинусов и основы тригонометрии для расчёта всех сторон, углов, площади, периметра и диаграммы в масштабе без необходимости использования калькулятора.
Как работает решение треугольников
-
1
Выберите три значения, которые вы знаете.
SSS, SAS, ASA, AAS или сокращения в виде правого треугольника.
-
2
Введите известные значения
Боковые стороны в любой единице измерения; углы в градусах или радианах.
-
3
Калькулятор применяет соответствующее законодательство.
Косинусы для SSS и SAS; синусы для ASA и AAS.
-
4
Получите все остальные значения
Отсутствующие стороны и углы, площадь, периметр, высота и окружной радиус.
Какой закон следует применять к каждому типу входных данных?
| Входные данные | Применяемое законодательство | Примечания |
|---|---|---|
| SSS (три углы) | Закон косинусов | Необходимо соблюдение неравенства треугольника |
| SAS (два угловых элемента + включённый угол) | Закон косинусов | Уникально определяется |
| ASA (два угла + включённая сторона) | Закон синусов | Третий угол = 180° – сумма углов |
| AAS (два угла + одна не включённая сторона); закон синусов; аналогичен ASA при перестановке элементов. | ||
| SSA (два угла + не включённый угол) | Закон синусов | Неоднозначный случай — 0, 1 или 2 треугольника |
Треугольное неравенство
Для любого действительного треугольника с сторонами a, b и c каждая сторона должна быть меньше суммы двух остальных сторон.
a + b > c
b + c > a
a + c > b
При вводе данных, не соответствующих этому формату (например, треугольника), калькулятор автоматически указывает на ошибку.
Методы анализа площадей
Три распространённых способа расчёта площади треугольника:
- База × высота / 2 (если высота известна).
- Формула SAS:
½ × a × b × sin(C)(два бока и включённый угол). - Формула Герона:
√(s(s-a)(s-b)(s-c)), где s = (a + b + c) / 2 (для всех трёх сторон).
Калькулятор выбирает ту формулу, которая соответствует введённым данным.
У прямоугольников существуют упрощённые способы решения задач.
Для прямоугольных треугольников (один угол равен 90°):
– «Теорема Пифагора»: a² + b² = c² (c — гипотенуа).
– SOH-CAH-TOA: sin – отношение противолежащей стороны к гипотену; cos – отношение соседней стороны к гипотену; tan – отношение противолежащей стороны к соседней стороне.
– «Площадь» = ½ × leg₁ × leg₂.
Неоднозначный случай по данным SSA
Две стороны и угол, не входящий в треугольник, могут образовать 0, 1 или 2 действительных треугольника.
– Если заданная сторона слишком короткая для достижения противоположной ноги: 0 треугольников. – Если самолёт точно приземляется перпендикулярно: 1 прямоугольный треугольник. – Если длина превышает указанную величину, но меньше длины соседней стороны: 2 треугольника (один — тупой, один — острый). – Если длина превышает длину соседней стороны: 1 треугольник.
Калькулятор отображает все решения в случае наличия неоднозначности.
Часто задаваемые вопросы
Поскольку данная сторона может находиться в двух положениях, оба из которых образуют допустимые треугольники — один острый и один тупой, закон синусов позволяет определить два возможных значения углов; однако правильный выбор зависит от контекста — зачастую от наличия диаграммы или очевидных геометрических ограничений.
Треугольное неравенство не справедливо. Калькулятор выводит ошибку с указанием нарушённого ограничения. Проверьте вводимые данные: часто допускается ошибка при выборе единицы измерения.
Единицы измерения по умолчанию. Переключите на радианы при работе с физикой или математическим анализом. Эта единица влияет только на ввод и отображение данных; внутренние вычисления выполняются в радианах.
Нет. Все расчёты выполняются в вашем браузере.