Softonic

Калькулятор тройного интеграла

Шаг 1 / 4 Triple integral

Тройные интегралы используются для вычисления объёма, массы и потока в трёхмерных областях — именно в таких случаях границы картиesianской области (например, прямоугольника или коробки) определяются просто, тогда как общий объём тела между двумя параболоидами требует тщательного выбора порядка интегрирования. Данный калькулятор вычисляет интеграл ∭f(x, y, z) dV по заданным границам, поддерживает картиesianские, цилиндрические и сферические координаты и отображает каждый шаг вычисления антидифференциала.

Как вычислить тройной интеграл

  1. 1

    Введите функцию f(x, y, z).

    Интегранд. Стандартная запись: x*y*z, x²+y², sin(x)·cos(y).

  2. 2

    Выберите систему координат

    Картезианская система координат (dx, dy, dz), цилиндрическая система координат (r, dr, dθ, dz) или сферическая система координат (ρ²sin(φ), dρ, dφ, dθ).

  3. 3

    Установите границы

    Для каждой из трёх переменных они являются постоянными или функциями других переменных.

  4. 4

    Выберите порядок интегрирования

    zdzydx, dxdydz и т. д. Выбор может значительно упростить математические расчёты.

  5. 5

    См. пошаговую оценку

    Сначала выполняется внутренний интеграл, затем — средний, и наконец — внешний; на каждом этапе используются антидифференциалы.

Что представляют собой три системы координат?

Система Элемент объёма Наиболее подходящий для
Картиезианная система dx dy dz Квадраты, призмы, общие несимметричные области
Цилиндрический r dr dθ dz Цилиндры, конусы, поверхности вращения
Сферический тип ρ² sin(φ) dρ dφ dθ Шары, секторы сфер, задачи гравитационной механики

Использование неподходящей системы преобразует простую интегральную задачу в настоящий кошмар. Интеграл по сфере радиусом 1 в декартовской системе имеет сложные граничные условия вида √(1 − x² − y²); в сферической системе он принимает вид ∫₀²π ∫₀π ∫₀¹ ρ² sin(φ) dρ dφ dθ — чёткий и разлагаемый.

Частые проблемы

– Масса: ∭ρ(x,y,z) dV, где ρ — плотность. – Центр массы: ∭x ρ dV / общая масса; аналогично для осей y и z. – Момент инерции: ∭r²ρdV относительно выбранной оси. – «Объём»: ∭1 дВ — интеграл имеет значение 1; это означает, что необходимо вычислить объём данной области.

Изменение порядка интегрирования

Для области, где внутренние ограничения невозможно явно выразить в виде функции внешней переменной, часто помогает изменение порядка вычисления границ. Нарисуйте данную область, проектируйте её на нужную плоскость «внутренняя–внешняя» и повторно определите соответствующие ограничения.

Пример на практике: объём сферы

В сферических координатах единичная сфера задаётся условиям {x² + y² + z² ≤ 1}.

V = ∫₀²π ∫₀π ∫₀¹ ρ² sin(φ) dρ dφ dθ
  = ∫₀²π ∫₀π [ρ³/3]₀¹ sin(φ) dφ dθ
  = ∫₀²π ∫₀π (1/3) sin(φ) dφ dθ
  = ∫₀²π (1/3)[-cos(φ)]₀π dθ
  = ∫₀²π (2/3) dθ
  = 4π/3

Известное выражение V = (4/3)πr³ устраняется в три простых шага; в декартовской системе координат одно и то же интегральное выражение занимает несколько страниц.

Численный резервный вариант

Некоторые интегралы не имеют антидифференциала в замкнутой форме. Если символическое интегрирование не удаётся, калькулятор переходит к численному методу квадратур и возвращает приблизительное значение с оценкой ошибки.

Часто задаваемые вопросы

Часто границы были неверными. Границы тройного интеграла могут зависеть от внутренних переменных, а неправильное порядок вычисления приводит к получению математически различных интегралов. Сначала нарисуйте область интегрирования, затем тщательно определите соответствующие границы.

Калькулятор переходит на численные методы (адаптивную квадратуру). Вы получаете числовое решение с пределом погрешности, а не символическое выражение.

Сферическая — когда область обладает полной трёхмерной симметрией относительно точки (шары, конусы, образованные вокруг точки). Цилиндрическая — при наличии осевой симметрии (цилиндры, поверхности вращения вокруг оси). Картиезианская — при отсутствии обеих симметрий.

Нет. Все вычисления выполняются в вашем браузере.