Калькулятор тройного интеграла
Тройные интегралы измеряют величины, распределенные в трехмерной области: объем, массу по функции плотности или любое накопленное значение ∭f(x,y,z) dV. Этот калькулятор в браузере дает численное приближение методом средних прямоугольников по прямоугольным числовым границам для x, y и z, поэтому подходит для быстрых проверок, учебных примеров и областей в форме параллелепипеда.
Как приблизить тройной интеграл
-
1
Введите f(x,y,z)
Используйте синтаксис калькулятора, например x*y*z, x^2+y^2+z^2 или sin(x)*cos(y).
-
2
Задайте числовые границы
Укажите минимальные и максимальные значения для x, y и z. Инструмент вычисляет прямоугольный блок в пространстве xyz.
-
3
Выберите шаги по каждой оси
Ползунок задает n разбиений для каждой оси, поэтому оценка использует n³ точек середины.
-
4
Вычислите приближение
В каждом маленьком блоке функция берется в центре и умножается на элемент объема ΔxΔyΔz.
-
5
Уточните и проверьте
Увеличьте число шагов и сравните с простыми случаями или с символическим результатом, если он есть.
Что калькулятор действительно вычисляет
| Ввод | Как используется | Практическое замечание |
|---|---|---|
f(x,y,z) |
Значение функции в каждой точке середины | Гладкие функции сходятся предсказуемее, чем резкие пики или разрывы |
x min/max, y min/max, z min/max |
Числовые прямоугольные границы | Границы могут быть отрицательными; перестановка минимума и максимума меняет знак по этой оси |
| Шаги по оси | Число разбиений в каждом измерении | Работа растет как n³, поэтому 60 шагов означают 216 000 вычислений функции |
Это численный калькулятор, а не символический интегратор. Он не ищет первообразные и не выводит новые границы для сферических или цилиндрических координат. Если ваша область, шар, конус или другое криволинейное тело, сначала перепишите задачу в виде границ и подынтегральной функции, которые может сэмплировать этот прямоугольный метод средних точек, либо используйте символический подход для тройных интегралов.
Частые применения
- Проверка объема: используйте
f(x,y,z) = 1на параллелепипеде, чтобы подтвердить его объем. - Оценка массы: введите функцию плотности ρ(x,y,z) и проинтегрируйте ее по числовым границам.
- Среднее значение: разделите оценку интеграла на объем блока.
- Численная проверка: сравните ответ, полученный вручную или из учебника, с быстрой вычислительной оценкой.
Системы координат и элементы объема
| Система координат | Типичный элемент объема | Что важно здесь |
|---|---|---|
| Декартова | dx dy dz | Напрямую соответствует границам x/y/z в этом калькуляторе |
| Цилиндрическая | r dr dθ dz | Удобна для осесимметричных областей, но множитель r должен входить в преобразованную подынтегральную функцию |
| Сферическая | ρ² sin(φ) dρ dφ dθ | Удобна для шаров и оболочек, но требует преобразованных границ и якобиана |
Интерфейс принимает только числовые диапазоны x, y и z. Идеи систем координат по-прежнему полезны для постановки задачи, но итоговое выражение должно соответствовать переменным и границам, которые калькулятор сэмплирует.
Проверка: единичный куб
Для единичного куба и f(x,y,z) = x*y*z:
∭_{0≤x,y,z≤1} x*y*z dV
= (∫₀¹ x dx)(∫₀¹ y dy)(∫₀¹ z dz)
= (1/2)(1/2)(1/2)
= 1/8 = 0,125
Это хороший тестовый ввод: границы прямоугольные, а ожидаемый ответ прост. Если численный результат далек от 0,125, увеличьте число шагов или проверьте синтаксис выражения.
Советы по точности
Метод средних прямоугольников обычно улучшается при увеличении числа шагов, но все равно остается приближением. Лучше всего работают гладкие функции на прямоугольном блоке. Разрывные функции, особенности, очень узкие пики или области, которые на самом деле не являются блоками, могут давать вводящие в заблуждение значения, если задачу не переформулировать аккуратно.
Часто задаваемые вопросы
Калькулятор использует численный метод средних точек. Больше шагов означает больше точек выборки, поэтому для гладких подынтегральных функций оценка обычно должна приближаться к устойчивому значению.
Нет. Эта страница приближает определенные интегралы по числовым границам. Если нужны первообразные или алгебраические шаги, используйте символический калькулятор интегралов.
Не напрямую. Ввод, это прямоугольные диапазоны для x, y и z. Для цилиндрической или сферической постановки используйте правильный якобиан и преобразованные границы в методе, который поддерживает такие переменные.
Нет. Все вычисления выполняются в вашем браузере.
Сопутствующие инструменты
Калькулятор балясин
Введите свободный пролёт перил, ширину балясины и максимально допустимый зазор, чтобы получить точное количество необходимых балясин и равный промежуток между каждой стойкой, не превышающий нормативный предел.
Калькулятор производительности осушителя воздуха
Оцените производительность переносного осушителя по площади и сырости помещения в литрах и американских пинтах в сутки.
Калькулятор нумерологии
Рассчитайте нумерологические числа имени по пифагорейским или халдейским значениям букв: выражение, стремление души и личность.
Калькулятор Social Security США
Оцените пенсионную выплату Social Security в США по PIA и возрасту начала получения. Сравните месячные и годовые суммы в 62 года, FRA 67 и 70 лет.
Калькулятор юбки-солнце
Рассчитайте радиусы талии и низа для четверти, половины, трёх четвертей или полного круга с прибавками и припусками.
Калькулятор перцентиля ребенка
Проверьте перцентиль веса, длины и окружности головы ребенка по стандартам роста WHO от рождения до 24 месяцев.