Softonic

Калькулятор векторного произведения

Шаг 1 / 3 Векторное произведение (A × B)
Далее

Векторное произведение двух 3D-векторов даёт третий вектор, перпендикулярный обоим. Его длина равна площади параллелограмма, построенного на этих двух векторах, а направление определяется правилом правой руки. Поэтому оно незаменимо для нормалей поверхностей в 3D-графике, для момента силы и момента импульса в физике и для любой геометрии, где нужно перпендикулярное направление. Введите компоненты векторов A и B, и этот инструмент вернёт A × B в виде (x, y, z) вместе с его модулем, результат обновляется по мере ввода.

Как вычислить векторное произведение

  1. 1

    Введите вектор A

    Введите три компоненты ax, ay и az первого вектора.

  2. 2

    Введите вектор B

    Введите три компоненты bx, by и bz второго вектора.

  3. 3

    Считайте результат

    Перпендикулярный вектор A × B показывается в виде (x, y, z) вместе с его модулем.

Формула

Для векторов A = (ax, ay, az) и B = (bx, by, bz) векторное произведение равно:

A × B = (ay·bz − az·by, az·bx − ax·bz, ax·by − ay·bx)

Каждая компонента, это определитель 2×2 двух других осей, причём знак среднего члена меняется на противоположный. Удобная мнемоника, разложение определителя по единичным векторам i, j, k.

Разобранный пример

Возьмём A = (1, 2, 3) и B = (4, 5, 6):

  • x: ay·bz − az·by = 2·6 − 3·5 = 12 − 15 = −3
  • y: az·bx − ax·bz = 3·4 − 1·6 = 12 − 6 = 6
  • z: ax·by − ay·bx = 1·5 − 2·4 = 5 − 8 = −3

Итак, A × B = (−3, 6, −3). Его модуль равен √((−3)² + 6² + (−3)²) = √54 ≈ 7,348. Можно проверить, что результат перпендикулярен: A·(A × B) = 1·(−3) + 2·6 + 3·(−3) = 0. ✓

Ключевые свойства

Свойство Утверждение
Антикоммутативность A × B = −(B × A)
Параллельные векторы A × A = 0 (любая параллельная пара даёт 0)
Модуль |A × B| = |A| · |B| · sin(θ)
Перпендикулярность (A × B) ⊥ A и (A × B) ⊥ B
Направление Правило правой руки от A к B

Частые ошибки

  • Порядок имеет значение. Перестановка векторов меняет знак каждой компоненты, потому что векторное произведение антикоммутативно.
  • Векторное произведение существует только в 3D. В отличие от скалярного произведения, A × B определено для трёхмерных векторов (есть аналог в 7D, но он применяется крайне редко). Для 2D-векторов дополните недостающую z нулём.
  • Знак среднего члена. Компонента y равна az·bx − ax·bz, а не ax·bz − az·bx: в разложении определителя член j вычитается, и именно здесь возникает большинство ошибок при счёте вручную.
  • Параллельные векторы дают ноль. Если A и B направлены в одну сторону (θ = 0), результат, нулевой вектор, поскольку sin(0) = 0.

Часто задаваемые вопросы

Скалярное произведение возвращает одно число (скаляр) и показывает, насколько параллельны два вектора. Векторное произведение возвращает вектор, перпендикулярный обоим, и показывает, насколько они перпендикулярны. Они отвечают на противоположные вопросы.

Напрямую нет: векторное произведение определено для 3D-векторов. Для двух 2D-векторов можно положить компоненту z равной 0; тогда у результата останется только компонента z, равная ax·by − ay·bx, которую часто называют «2D-векторным произведением» или площадью со знаком.

Модуль равен площади параллелограмма, построенного на двух векторах, и также равен |A| · |B| · sin(θ), где θ, угол между ними. Половина этого значения, площадь треугольника, образованного A и B.

Нет. Компоненты отправляются на сервер только для выполнения расчёта и не сохраняются в базе данных и не хранятся после закрытия страницы.

Сопутствующие инструменты

Калькулятор балясин

Введите свободный пролёт перил, ширину балясины и максимально допустимый зазор, чтобы получить точное количество необходимых балясин и равный промежуток между каждой стойкой, не превышающий нормативный предел.

Калькулятор производительности осушителя воздуха

Оцените производительность переносного осушителя по площади и сырости помещения в литрах и американских пинтах в сутки.

Калькулятор длительности

Рассчитайте длительность между двумя часами в формате HH:MM, десятичных часах, минутах и секундах.

Калькулятор Social Security США

Оцените пенсионную выплату Social Security в США по PIA и возрасту начала получения. Сравните месячные и годовые суммы в 62 года, FRA 67 и 70 лет.

Калькулятор делительной окружности отверстий

Рассчитайте PCD, угловой шаг и точные координаты X/Y равномерных отверстий с поворотом, смещением центра и экспортом CSV.

Калькулятор юбки-солнце

Рассчитайте радиусы талии и низа для четверти, половины, трёх четвертей или полного круга с прибавками и припусками.