Калькулятор производных
Вычисление производной функции x^3 sin(x) - ln(x)/x вручную — это не проблема; однако повторять это сорок раз для всего набора задач — настоящее испытание для души. Вставьте любой алгебраический выражение и выберите переменную — калькулятор автоматически вернёт упрощённую производную вместе со всеми этапами вычислений (множительное действие, деление и применение правила цепочки), что позволит вам проверить ход своих расчётов.
Как различить выражение
-
1
Введите выражение
Используйте стандартную нотацию: `x^2 + 3*x`, `sin(x)/x`, `e^(2x)`, `ln(x)`. Допускается неявное умножение.
-
2
Выберите переменную
Дифференцируйте по переменным x, t, θ или любой другой букве; остальные буквы рассматриваются как константы.
-
3
Выберите порядок
Поддерживаются первые, вторые и более высокие производные; результаты автоматически объединяются в цепочку.
-
4
Проверьте шаги
Рассмотрите детали вычислений, чтобы увидеть, какое правило (правило степеней, произведения, делителей или цепных операций) применялось на каждом этапе.
Правила, применяемые калькулятором
| Правило | Форма | Пример |
|---|---|---|
| Мощность | d/dx [x^n] = n × x^(n–1); при x^5 значение равняется 5x^4 | |
| Константная | d/dx [c] = 0 | Значение 7 становится равным 0 |
| Сумма | d/dx [f + g] = f′ + g′ | x² + x равна 2x + 1 |
| Продукт | d/dx [f * g] = f’g + f·g’ | выражение x·sin(x) превращается в sin(x) + x·cos(x) |
| Доля | d/dx [f / g] = (f’g – f/g’) / g² | sin(x)/x даёт классический результат в виде дроби. |
| Цепь | d/dx [f(g(x))] = f’(g(x)) · g’(x) | sin(x²) превращается в 2x cos(x²) |
| Экспоненциальный функционал | d/dx [e^x] = e^x; d/dx [a^x] = a^x · ln(a); | e^(2x) равна 2e^(2x) |
| Логарифм | d/dx [ln(x)] = 1/x; d/dx [log_a(x)] = 1/(x·ln a); | ln(3x) равен 1/x |
| Trig | sin′ = cos, cos′ = –sin, tan′ = sec² | tan(x) равен sec²(x) |
Пример реализации
Для f(x) = x^2 * ln(x):
- Установите выражение для продукта: u = x², v = ln(x).
- Примените правило произведений: f’ = u’v + uv’ = (2x)(ln x) + (x²)(1/x).
- Упростите выражение: f’ = 2x ln(x) + x.
Инструмент отображает именно эти три строки в результатах выполнения шага, поэтому вы можете скопировать их в своё домашнее задание или проверку работы.
Советы по чистому вводу данных
– В неоднозначных случаях используйте явное умножение: используйте формулировку 2*x*y вместо 2xy, чтобы избежать путаницы в парсере при распознавании имен функций.
– Обёрните экспоненты, если их количество превышает один символ: например, x^(2n+1), а не x^2n+1.
Предпочтительно использовать e^x вместо exp(x), если только в показателе не требуется научная запись.
– Проверьте наличие скрытых констант. Значение f(x) = a*x^2 + b отличается от 2ax, а не от 2ax + b\', поскольку инструмент считает, что все буквы, кроме выбранной переменной, являются константами.
Ограничения
– Не используется метод скрытой дифференциации (решение уравнения для dy/dx при условии, что y является скрытым переменным); сначала необходимо преобразовать уравнение в явный вид. Для фрагментарных функций отдельные участки необходимо ввести отдельно. Для упрощения конечной формы очень длинные выражения могут потребовать всего доли секунды.
Часто задаваемые вопросы
Да. Если в выражении содержится несколько переменных, выберите ту, по которой вы хотите производить дифференцирование; все остальные переменные автоматически остаются постоянными — именно это и означает частное дифференцирование.
Инструмент применяет правила алгебраического упрощения — например, объединение одинаковых членов и устранение общих множителей, но не формирует алгебраические идентичности. Если два выражения эквивалентны, но их равенство не очевидно, оба могут быть признаны корректными результатами.
Да, в текущей версии поддерживается до десятого порядка. Установите нужный порядок — калькулятор будет многократно применять правило первой производной.
Нет. Модуль компьютерной алгебры работает в браузере (в версии на основе WebAssembly); выражение, введённое пользователем, сохраняется на его устройстве.