Калькулятор скалярного произведения

Две формулы

Покомпонентная форма для векторов a = (a1, a2, ..., an) и b = (b1, b2, ..., bn):

a . b = a1*b1 + a2*b2 + ... + an*bn

Геометрическая форма:

a . b = |a| * |b| * cos(theta)

Два выражения равны; приравняв их, вы получаете cos(theta) = (a.b) / (|a| |b|), формулу косинусной близости.

Что говорит знак

Разобранный пример

a = (3, 4), b = (1, 2):

• Компоненты: 31 + 42 = 3 + 8 = 11
• |a| = sqrt(9 + 16) = 5
• |b| = sqrt(1 + 4) = sqrt(5) ~ 2.236
• cos(theta) = 11 / (5 * 2.236) = 0.9839
• theta = arccos(0.9839) ~ 10.3 градуса

Векторы направлены почти одинаково, отсюда большое положительное скалярное произведение.

Типичные применения

• Косинусная близость для рекомендательных систем: насколько похожи два вектора-эмбеддинга?
• Проекция одного вектора на другой: proj_b(a) = (a . b) / |b|^2 * b.
• Работа в физике: W = F . d, сила скалярно умноженная на перемещение.
• Освещение в графике: нормаль поверхности скалярно умноженная на направление света дает диффузную яркость (закон Ламберта).
• Проверка ортогональности: быстро проверить, перпендикулярны ли два базисных вектора.

Советы

• Нормализуйте перед сравнением. Если вам важно только направление (близость), сначала разделите каждый вектор на его модуль; тогда скалярное произведение равно косинусу напрямую.
• Следите за размерностью. Скалярное произведение 3-вектора с 4-вектором не определено; дополняйте или усекайте намеренно, а не случайно.
• Численная устойчивость. Для очень больших векторов накопление с плавающей точкой может терять точность; используйте двойную точность или суммирование Кэхэна, когда размерность превышает несколько тысяч.