Softonic

Калькулятор геометрической прогрессии

Шаг 1 / 3
Далее

Геометрическая прогрессия, это ряд чисел, в котором каждый член равен предыдущему, умноженному на фиксированное значение, называемое знаменателем. Введите первый член, знаменатель и нужное количество членов, и этот калькулятор вернёт n-й член, сумму первых n членов и предпросмотр самой прогрессии. Всё пересчитывается мгновенно прямо в браузере по мере ввода, поэтому вы можете исследовать закономерности роста, убывания и сложных процентов, не вычисляя степени и корни вручную. Он работает с целыми числами, десятичными дробями, дробями, записанными в десятичном виде, и знаменателями меньше 1 для убывающих прогрессий.

Как пользоваться калькулятором геометрической прогрессии

  1. 1

    Введите первый член и знаменатель

    Наберите первый член (a₁) и знаменатель (r). Знаменатель больше 1 увеличивает прогрессию; знаменатель между 0 и 1 её уменьшает.

  2. 2

    Выберите количество членов

    Задайте число членов (n). Калькулятор найдёт n-й член и просуммирует за вас первые n членов.

  3. 3

    Считайте результаты

    Посмотрите n-й член, частичную сумму и предпросмотр прогрессии: всё пересчитывается по мере изменения исходных данных.

Формулы

В геометрической прогрессии каждый член равен предыдущему члену, умноженному на знаменатель r. Начиная с первого члена a₁:

aₙ = a₁ · r^(n−1)

Сумма первых n членов (частичная сумма) равна:

Sₙ = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r) при r ≠ 1

Когда знаменатель в точности равен 1, все члены одинаковы, поэтому сумма просто равна Sₙ = n · a₁. Если знаменатель строго между −1 и 1, бесконечная сумма сходится к a₁ / (1 − r).

Разобранный пример

Возьмём a₁ = 2 и r = 3 и запросим n = 5 членов.

  • Прогрессия: 2, 6, 18, 54, 162
  • 5-й член: a₅ = 2 · 3⁴ = 2 · 81 = 162
  • Сумма: S₅ = 2 · (1 − 3⁵) / (1 − 3) = 2 · (1 − 243) / (−2) = 242

Каждый член ровно в 3 раза больше предыдущего, а пять членов в сумме дают 242.

Члены и частичные суммы с первого взгляда

n Член aₙ = 2·3^(n−1) Сумма Sₙ
1 2 2
2 6 8
3 18 26
4 54 80
5 162 242

Частые ошибки

  • Смещение на единицу в показателе. Для n-го члена используется r^(n−1), а не rⁿ: к первому члену знаменатель ещё не применён.
  • Знаменатель, равный 1. Если подставить r = 1 в основную формулу суммы, получится деление на ноль. Вместо этого используйте Sₙ = n · a₁; этот инструмент переключается автоматически.
  • Геометрическая или арифметическая. Геометрическая прогрессия умножает на фиксированный знаменатель; арифметическая прибавляет фиксированную разность. Их путаница даёт совершенно неверные члены.
  • Отрицательные знаменатели. Знаменатель вроде −2 меняет знак членов (2, −4, 8, −16, …); это допустимо, и калькулятор с этим справляется.

Где встречаются геометрические прогрессии

Геометрические прогрессии моделируют всё, что растёт или убывает на постоянный процент на каждом шаге. Сложные проценты умножают баланс на один и тот же множитель каждый период, поэтому балансы образуют геометрическую прогрессию. Рост населения, радиоактивный распад, измеряемый в периодах полураспада, высоты отскоков брошенного мяча и ежегодная амортизация актива, всё это следует одному и тому же образцу. Распознавание знаменателя в реальных данных позволяет спрогнозировать следующее значение, оценить накопленный итог или определить, применима ли формула сходящейся бесконечной суммы, когда знаменатель находится между −1 и 1.

Часто задаваемые вопросы

В геометрической прогрессии каждый член, это предыдущий, умноженный на фиксированный знаменатель (2, 6, 18, …). В арифметической прогрессии каждый член, это предыдущий плюс фиксированная разность (2, 5, 8, …). Геометрические прогрессии растут или убывают по экспоненте; арифметические меняются с постоянной скоростью.

Используйте формулу общего члена aₙ = a₁ · r^(n−1). Умножьте первый член на знаменатель в степени n − 1. Например, 8-й член ряда 2, 6, 18, … равен 2 · 3⁷ = 4374. Этот калькулятор делает это мгновенно.

Да. Знаменатель между 0 и 1 (например, 0,5) заставляет прогрессию убывать к нулю, а отрицательный знаменатель (например, −2) заставляет знаки чередоваться. Введите значение в виде десятичной дроби, и калькулятор правильно обработает оба случая.

Нет. Введённые числа отправляются на сервер только для выполнения расчёта. Они не сохраняются и не используются для других целей.

Сопутствующие инструменты

Калькулятор балясин

Введите свободный пролёт перил, ширину балясины и максимально допустимый зазор, чтобы получить точное количество необходимых балясин и равный промежуток между каждой стойкой, не превышающий нормативный предел.

Калькулятор делительной окружности отверстий

Рассчитайте PCD, угловой шаг и точные координаты X/Y равномерных отверстий с поворотом, смещением центра и экспортом CSV.

Калькулятор длительности

Рассчитайте длительность между двумя часами в формате HH:MM, десятичных часах, минутах и секундах.

Калькулятор производительности осушителя воздуха

Оцените производительность переносного осушителя по площади и сырости помещения в литрах и американских пинтах в сутки.

Калькулятор юбки-солнце

Рассчитайте радиусы талии и низа для четверти, половины, трёх четвертей или полного круга с прибавками и припусками.

Калькулятор перцентиля ребенка

Введите возраст, пол и вес ребенка, чтобы увидеть примерный диапазон перцентиля веса и референсный диапазон для этого возраста, от рождения до 24 месяцев.

Инструмент доступен на других языках