Softonic

Калькулятор геометрической прогрессии

Шаг 1 / 3
Далее

Геометрическая прогрессия, это ряд чисел, в котором каждый член равен предыдущему, умноженному на фиксированное значение, называемое знаменателем. Введите первый член, знаменатель и нужное количество членов, и этот калькулятор вернёт n-й член, сумму первых n членов и предпросмотр самой прогрессии. Всё пересчитывается мгновенно прямо в браузере по мере ввода, поэтому вы можете исследовать закономерности роста, убывания и сложных процентов, не вычисляя степени и корни вручную. Он работает с целыми числами, десятичными дробями, дробями, записанными в десятичном виде, и знаменателями меньше 1 для убывающих прогрессий.

Как пользоваться калькулятором геометрической прогрессии

  1. 1

    Введите первый член и знаменатель

    Наберите первый член (a₁) и знаменатель (r). Знаменатель больше 1 увеличивает прогрессию; знаменатель между 0 и 1 её уменьшает.

  2. 2

    Выберите количество членов

    Задайте число членов (n). Калькулятор найдёт n-й член и просуммирует за вас первые n членов.

  3. 3

    Считайте результаты

    Посмотрите n-й член, частичную сумму и предпросмотр прогрессии: всё пересчитывается по мере изменения исходных данных.

Формулы

В геометрической прогрессии каждый член равен предыдущему члену, умноженному на знаменатель r. Начиная с первого члена a₁:

aₙ = a₁ · r^(n−1)

Сумма первых n членов (частичная сумма) равна:

Sₙ = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r) при r ≠ 1

Когда знаменатель в точности равен 1, все члены одинаковы, поэтому сумма просто равна Sₙ = n · a₁. Если знаменатель строго между −1 и 1, бесконечная сумма сходится к a₁ / (1 − r).

Разобранный пример

Возьмём a₁ = 2 и r = 3 и запросим n = 5 членов.

  • Прогрессия: 2, 6, 18, 54, 162
  • 5-й член: a₅ = 2 · 3⁴ = 2 · 81 = 162
  • Сумма: S₅ = 2 · (1 − 3⁵) / (1 − 3) = 2 · (1 − 243) / (−2) = 242

Каждый член ровно в 3 раза больше предыдущего, а пять членов в сумме дают 242.

Члены и частичные суммы с первого взгляда

n Член aₙ = 2·3^(n−1) Сумма Sₙ
1 2 2
2 6 8
3 18 26
4 54 80
5 162 242

Частые ошибки

  • Смещение на единицу в показателе. Для n-го члена используется r^(n−1), а не rⁿ: к первому члену знаменатель ещё не применён.
  • Знаменатель, равный 1. Если подставить r = 1 в основную формулу суммы, получится деление на ноль. Вместо этого используйте Sₙ = n · a₁; этот инструмент переключается автоматически.
  • Геометрическая или арифметическая. Геометрическая прогрессия умножает на фиксированный знаменатель; арифметическая прибавляет фиксированную разность. Их путаница даёт совершенно неверные члены.
  • Отрицательные знаменатели. Знаменатель вроде −2 меняет знак членов (2, −4, 8, −16, …); это допустимо, и калькулятор с этим справляется.

Где встречаются геометрические прогрессии

Геометрические прогрессии моделируют всё, что растёт или убывает на постоянный процент на каждом шаге. Сложные проценты умножают баланс на один и тот же множитель каждый период, поэтому балансы образуют геометрическую прогрессию. Рост населения, радиоактивный распад, измеряемый в периодах полураспада, высоты отскоков брошенного мяча и ежегодная амортизация актива, всё это следует одному и тому же образцу. Распознавание знаменателя в реальных данных позволяет спрогнозировать следующее значение, оценить накопленный итог или определить, применима ли формула сходящейся бесконечной суммы, когда знаменатель находится между −1 и 1.

Часто задаваемые вопросы

В геометрической прогрессии каждый член, это предыдущий, умноженный на фиксированный знаменатель (2, 6, 18, …). В арифметической прогрессии каждый член, это предыдущий плюс фиксированная разность (2, 5, 8, …). Геометрические прогрессии растут или убывают по экспоненте; арифметические меняются с постоянной скоростью.

Используйте формулу общего члена aₙ = a₁ · r^(n−1). Умножьте первый член на знаменатель в степени n − 1. Например, 8-й член ряда 2, 6, 18, … равен 2 · 3⁷ = 4374. Этот калькулятор делает это мгновенно.

Да. Знаменатель между 0 и 1 (например, 0,5) заставляет прогрессию убывать к нулю, а отрицательный знаменатель (например, −2) заставляет знаки чередоваться. Введите значение в виде десятичной дроби, и калькулятор правильно обработает оба случая.

Нет. Введённые числа отправляются на сервер только для выполнения расчёта. Они не сохраняются и не используются для других целей.

Сопутствующие инструменты

Калькулятор длительности

Рассчитайте длительность между двумя часами в формате HH:MM, десятичных часах, минутах и секундах.

Калькулятор совместимости имен

Введите два имени и получите шуточную оценку совместимости, а также пифагорейское число каждого имени. Инструмент читает только латиницу (от A до Z), поэтому русское имя сначала запишите латинскими буквами.

Калькулятор матриц

Универсальный калькулятор матриц: сложение, вычитание, умножение, транспонирование, обращение и вычисление определителя для любых размерностей. Показывает промежуточные шаги.

Калькулятор прогноза роста взрослого

Получите приблизительную оценку взрослого роста по росту биологических родителей. Инструмент не ставит диагнозов.

Калькулятор «сколько часов назад»

Узнайте точные дату и время, которые были заданное число часов назад от текущего момента.

Калькулятор угла конуса

Рассчитайте полуугол, полный угол, конусность 1:N и диаметральный уклон по большому и малому диаметрам и осевой длине.

Инструмент доступен на других языках