Калькулятор гипергеометрического распределения

Что означает расчёт

N обозначает размер генеральной совокупности, K число успехов в ней, n число извлечённых элементов, а X число успехов в выборке. Элементы извлекаются без возвращения: один и тот же элемент нельзя выбрать повторно.

Для ровно k успехов:

P(X = k) = C(K, k) × C(N - K, n - k) / C(N, n)

Здесь C(a, b) означает число способов выбрать b элементов из a. Возможное число успехов лежит только в диапазоне от max(0, n - (N - K)) до min(n, K). Вероятность точного результата вне диапазона равна нулю, даже если он находится между нулём и объёмом выборки. Не более k суммирует точные вероятности до k включительно, а не менее k начиная с k. Поэтому вероятность накопленного события за пределами возможного диапазона может равняться нулю или единице.

Пример: пять извлечений из 20 элементов

В коробке 20 элементов, семь из них помечены. Извлеките пять без возвращения и найдите вероятность получить ровно два помеченных элемента. Введите N = 20, K = 7, n = 5, k = 2 и выберите Ровно k.

P(X = 2) = C(7, 2) × C(13, 3) / C(20, 5) = 21 × 286 / 15504 = 6006 / 15504 ≈ 0,387384.

Это около 38,74%. Выберите Не более k для P(X ≤ 2) ≈ 0,793215 или Не менее k для P(X ≥ 2) ≈ 0,594169. Оба накопленных события включают результат с ровно двумя помеченными элементами.

Математическое ожидание, дисперсия и отличие от биномиального распределения

Ожидаемое число успехов равно n × K / N. При N > 1 дисперсия равна n × (K/N) × (1 - K/N) × (N - n)/(N - 1); при N = 1 она равна нулю. Последний множитель учитывает изменение состава оставшейся совокупности.

Документация R по гипергеометрическому распределению описывает соответствующие функцию вероятности и функцию распределения.

Используйте биномиальную модель, когда испытания независимы и вероятность успеха одинакова в каждом из них, например при возвращении элемента перед следующим извлечением. Гипергеометрическая модель подходит для фиксированного числа извлечений из конечной совокупности без возвращения. Калькулятор принимает целые числа и рассчитывает распределение в браузере. Пошаговый режим временно хранит введённые значения в этой вкладке; в другой вкладке или после истечения срока хранения данных может потребоваться начать заново.

При крайне малой, но ненулевой вероятности может появиться сообщение Меньше 10^-300: обычное десятичное число не позволяет показать значение целиком. CSV также содержит десятичный логарифм вероятности каждого возможного результата, чтобы можно было оценить порядок величины.