Softonic

Калькулятор пределов

Шаг 1 / 3 Предельное значение
Далее

Предел функции f(x) при стремлении x к точке a описывает значение, к которому f(x) приближается, независимо от того, существует ли само f(a). Этот калькулятор вычисляет пределы численно и символьно для многочленов, рациональных функций, тригонометрических функций, экспонент и логарифмов, включая точки ±∞, и сообщает, когда двусторонний предел не существует из-за расхождения левого и правого значений.

Как вычислить предел

  1. 1

    Выберите семейство функций

    Многочлен, рациональная, тригонометрическая (sin/cos/tan), экспоненциальная, логарифмическая или комбинация.

  2. 2

    Введите точку предела a

    Действительное число или ∞ / -∞ для пределов на бесконечности.

  3. 3

    Выберите направление

    Двусторонний (оба), левый (a⁻) или правый (a⁺).

  4. 4

    Прочитайте числовой результат

    Если левый и правый расходятся, двусторонний предел не существует.

Когда пределы ведут себя предсказуемо, а когда нет

Большинство задач из курса первого года матанализа опираются на три приема: прямую подстановку, алгебраическое упрощение и правило Лопиталя. Калькулятор применяет их в этом порядке и переходит к численной оценке, когда символьные преобразования не срабатывают.

Классические результаты, которые стоит запомнить

Предел Значение
lim x→0 sin(x)/x 1
lim x→0 (1 − cos x)/x 0
lim x→0 (1 − cos x)/x² 1/2
lim x→0 (eˣ − 1)/x 1
lim x→∞ (1 + 1/x)ˣ e
lim x→0⁺ x ln(x) 0
lim x→∞ ln(x)/x 0
lim x→∞ (многочлен)/eˣ 0

Когда двусторонний предел не существует

К ответу «не существует» приводят три случая:

  • Разрыв со скачком. f(x) = sign(x) при x = 0: слева → -1, справа → +1.
  • Вертикальная асимптота с противоположными знаками. f(x) = 1/x при x = 0: слева → -∞, справа → +∞.
  • Осцилляция. f(x) = sin(1/x) при x = 0: значения колеблются между -1 и 1 сколь угодно близко к точке.

Односторонние пределы могут существовать там, где двусторонних нет. Калькулятор выводит каждую сторону отдельно, чтобы вы видели расхождение.

Правило Лопиталя: применяйте осторожно

Когда подстановка дает 0/0 или ∞/∞, раздельное дифференцирование числителя и знаменателя часто разрешает неопределенность. Но правило требует:

  • Оба предела (числителя и знаменателя) должны действительно быть 0 или оба ∞.
  • Отношение производных само должно иметь предел.
  • Функции должны быть дифференцируемы вблизи точки.

Неправильное применение правила Лопиталя к не-неопределенной форме дает неверные ответы. Всегда сначала проверяйте форму.

Численно или символьно

Калькулятор использует точную арифметику для простых алгебраических форм (многочлены, рациональные). Для трансцендентных выражений он вычисляет функцию в последовательности точек, приближающихся к a, и сообщает сошедшееся значение с точностью до 8 знаков после запятой. Если последовательность не сходится, результат помечается как неопределенный.

Часто задаваемые вопросы

Значение, к которому приближается f(x), когда x подходит к a только с одной стороны. Левосторонний (x → a⁻) использует значения меньше a; правосторонний (x → a⁺) использует значения больше. Двусторонний предел существует только тогда, когда оба совпадают.

Да, введите ∞ или -∞ в качестве точки предела. Для рациональных функций сравниваются степени; для экспонент и логарифмов используются стандартные асимптотические соотношения.

Функция не приближается к единственному конечному значению при стремлении x к точке. Это может происходить потому, что значения стремятся к бесконечности, потому что левое и правое расходятся, или потому что значения колеблются без сходимости.

Нет. Выражения, которые вы вводите, парсятся и вычисляются в вашем браузере, и ничего никуда не отправляется.

Сопутствующие инструменты

Калькулятор длительности

Рассчитайте длительность между двумя часами в формате HH:MM, десятичных часах, минутах и секундах.

Калькулятор «сколько часов назад»

Узнайте точные дату и время, которые были заданное число часов назад от текущего момента.

Калькулятор совместимости имен

Введите два имени и получите шуточную оценку совместимости, а также пифагорейское число каждого имени. Инструмент читает только латиницу (от A до Z), поэтому русское имя сначала запишите латинскими буквами.

Калькулятор прогноза роста взрослого

Получите приблизительную оценку взрослого роста по росту биологических родителей. Инструмент не ставит диагнозов.

Калькулятор матриц

Универсальный калькулятор матриц: сложение, вычитание, умножение, транспонирование, обращение и вычисление определителя для любых размерностей. Показывает промежуточные шаги.

Калькулятор угла конуса

Рассчитайте полуугол, полный угол, конусность 1:N и диаметральный уклон по большому и малому диаметрам и осевой длине.

Инструмент доступен на других языках