Калькулятор определителя матрицы

Что показывает определитель

• Не ноль: матрица обратима; её столбцы линейно независимы; она задаёт биективное линейное отображение.
• Ноль: матрица вырождена; столбцы линейно зависимы; отображение схлопывает хотя бы одно измерение.
• Знак: положительный означает, что линейное отображение сохраняет ориентацию; отрицательный, что оно её меняет (как зеркальное отражение).
• Модуль: |det(A)|, это коэффициент, во сколько раз отображение масштабирует n-мерный объём. Матрица 2×2 с определителем 3 увеличивает площади в 3 раза; определитель −2 увеличивает площади в 2 раза и переворачивает их.

Малые случаи: считайте вручную

2×2:

det([[a, b], [c, d]]) = a·d − b·c

3×3 (правило Саррюса):

det = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg) для [[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]].

Большие случаи: используйте LU

Ручное вычисление определителя 4×4 через разложение по дополнениям требует 4! = 24 умножений. Для 6×6, уже 720. LU-разложение снижает объём работы до O(n³): разложите A = LU, где L, нижнетреугольная матрица с единицами на диагонали, а U, верхнетреугольная; тогда det(A) = det(L)·det(U) = ∏ u_ii.

Полезные свойства

• det(AB) = det(A)·det(B).
• det(A^T) = det(A).
• det(A^−1) = 1 / det(A).
• det(kA) = k^n · det(A) для матрицы n×n.
• Перестановка двух строк меняет знак определителя.
• Прибавление к одной строке другой строки, умноженной на число, не меняет определитель.
• Если какая-либо строка (или столбец) состоит из одних нулей, определитель равен нулю.

Частые ошибки

• Забыть о чередовании знаков при разложении по дополнениям: + − + − + − .... Алгебраическое дополнение элемента (i,j) равно (−1)^(i+j), умноженному на минор.
• Раскладывать по строке с ненулевыми элементами, когда есть строка с тремя нулями. Чтобы упростить работу, выбирайте строку или столбец с наибольшим числом нулей.
• Считать, что det(A+B) = det(A) + det(B). Это неверно. Определитель мультипликативен, а не аддитивен.