Softonic

Калькулятор обратной матрицы

Шаг 1 / 2 Квадратная матрица
Результаты

Обратная квадратная матрица A, это матрица A⁻¹ такая, что A · A⁻¹ = I. Введите квадратную матрицу размером до 10×10: калькулятор добавляет к ней единичную матрицу, выполняет метод Гаусса–Йордана с частичным пивотированием и возвращает матрицу A⁻¹ вместе со всеми выполненными операциями по строкам. Если матрица является сингулярной (детерминант = 0), программа останавливается и указывает место неудачи процесса упрощения.

Как вычисляется обратная матрица

  1. 1

    Введите квадратную матрицу

    Такое же количество строк и столбцов: от 2×2 до 10×10.

  2. 2

    Инструмент проверяет обратимость

    Сначала вычисляется det(A). Если результат равен нулю, матрица является сингулярной и не имеет обратной матрицы.

  3. 3

    Дополнение единичной матрицей

    Формирует блок [A | I], готовый к применению метода Гаусса–Йордана.

  4. 4

    Сокращение по строкам до [I | A⁻¹]

    Каждая операция с строкой фиксируется в журнале; правый блок становится его обратной матрицей.

  5. 5

    Подтвердить

    Инструмент вычисляет произведение A · A⁻¹ и выводит результат, по значению он должен совпадать с единицей в пределах допустимой численной точности.

Когда обратная матрица существует

Квадратная матрица A обратима тогда и только тогда, когда det(A) ≠ 0. Эквивалентные условия:

  • Столбцы линейно независимы.
  • Строки линейно независимы.
  • Нулевое пространство тривиально (только нулевой вектор).
  • Матрица A имеет полный ранг (ранг = n).
  • Линейная система Ax = b имеет единственное решение для каждого b.

Формула для 2×2

Для A = [[a, b], [c, d]]:

A^−1 = (1 / (ad − bc)) · [[d, −b], [−c, a]]

Поменяйте местами элементы диагонали, смените знак у внедиагональных элементов и разделите на определитель.

Гаусс–Йордан в одной картинке

Начало: [A | I].

Конец: [I | A^−1].

Операции над строками, превращающие A в единичную матрицу I, при применении к I превращают её в A⁻¹.

Почему важен частичный выбор ведущего элемента

Без него алгоритм выбирает диагональный элемент текущей строки в качестве ведущего. Если этот элемент равен нулю или очень мал, деление даёт огромную ошибку. Частичный выбор ведущего элемента переставляет строку с наибольшим по модулю ведущим элементом, что обеспечивает численную устойчивость вычислений.

Проверка результата

Умножьте A · A⁻¹. Вы должны получить единичную матрицу (с точностью до малой численной погрешности). Если элементы заметно отличаются от 1 на диагонали или от 0 в других местах, матрица близка к сингулярной, и численная обратная матрица ненадёжна: теоретически она существует, но вычисленный ответ может быть неверен во многих разрядах.

Разобранный пример 2×2

A = [[4, 7], [2, 6]]

  • det(A) = 4·6 − 7·2 = 24 − 14 = 10 (не ноль, матрица обратима).
  • Поменяйте местами и смените знак: [[6, −7], [−2, 4]].
  • Разделите на 10: A^−1 = [[0.6, −0.7], [−0.2, 0.4]].
  • Проверьте: A · A^−1 = [[1, 0], [0, 1]]. ✓

Советы

  • Используйте точную арифметику для малых матриц (2×2, 3×3), чтобы получить аккуратные дроби. Числа с плавающей точкой дают ошибки округления даже при простых целочисленных входных данных.
  • Не обращайте матрицу, чтобы решить Ax = b в рабочем коде. Вместо этого примените приведение по строкам к расширенной системе [A | b]; решение быстрее и устойчивее, чем обращение с последующим умножением.
  • Число обусловленности. Если cond(A) велико (скажем, >10^10 при двойной точности), численная обратная матрица ненадёжна, хотя и существует.

Часто задаваемые вопросы

Сингулярность означает, что определитель равен нулю; это может произойти при линейной зависимости столбцов, когда один столбец кратен другому или является суммой двух других столбцов. Ненулевые элементы не гарантируют независимость столбцов.

Нет. Неквадратные матрицы имеют псевдообратные матрицы (Мур–Пенроуз), которые определяются для любой матрицы, но не являются настоящими обратными матрицами. При необходимости используйте специализированный инструмент для вычисления псевдообратных матриц.

Для целых чисел до разумного размера результаты остаются рациональными; при работе с плавающими или иррациональными значениями калькулятор переходит на двойное точность.

Для отображения данных размером до 10×10, вполне достаточен браузер. Для более крупных размеров рекомендуется использовать числовую библиотеку вместе с BLAS.

При округлении в арифметике двойной точности значения могут принимать значение 1.000000000000002 вместо 1. Для плохо условных матриц отклонение может быть ещё больше. Если требуется точный обратный матричный вектор, используйте режим точного рационального вычисления для небольших матриц.

Сопутствующие инструменты

Калькулятор балясин

Введите свободный пролёт перил, ширину балясины и максимально допустимый зазор, чтобы получить точное количество необходимых балясин и равный промежуток между каждой стойкой, не превышающий нормативный предел.

Калькулятор длительности

Рассчитайте длительность между двумя часами в формате HH:MM, десятичных часах, минутах и секундах.

Калькулятор делительной окружности отверстий

Рассчитайте PCD, угловой шаг и точные координаты X/Y равномерных отверстий с поворотом, смещением центра и экспортом CSV.

Калькулятор длины ремня

Рассчитайте длину открытого ремня по делительной линии из диаметров двух шкивов и межосевого расстояния точным и приближённым методом.

Калькулятор гематрии

Рассчитайте значение гематрии для любого слова или фразы в шести английских шифрах: Simple/Ordinal, Full Reduction, Reverse, Sumerian и Jewish/Latin.

Калькулятор «сколько часов назад»

Узнайте точные дату и время, которые были заданное число часов назад от текущего момента.

Инструмент доступен на других языках