Softonic

Калькулятор умножения матриц

Шаг 1 / 3
Далее

Введите матрицу A (m×n) и матрицу B (n×p). Если число столбцов A совпадает с числом строк B, калькулятор возвращает произведение AB, матрицу размера m×p. Каждый элемент результата, это скалярное произведение строки матрицы A и столбца матрицы B, и инструмент явно показывает каждую из этих сумм скалярных произведений, чтобы вы могли проследить все выкладки, ничего не принимая на веру.

Как работает умножение матриц

  1. 1

    Задайте размеры

    Строки и столбцы A и B. Число столбцов A должно быть равно числу строк B.

  2. 2

    Введите значения

    Заполните каждую ячейку; допускаются десятичные дроби и отрицательные числа.

  3. 3

    Прочитайте произведение

    C = A·B, размеры, строки(A) × столбцы(B).

  4. 4

    Разверните одну ячейку

    Нажмите на любой элемент C_ij, чтобы увидеть скалярное произведение row_i(A) · col_j(B) с перечислением каждого произведения.

Правило

(AB)_ij = Σ_k A_ik · B_kj

Элемент (i, j) произведения, это сумма произведений, в которых строка i матрицы A сопоставляется со столбцом j матрицы B.

Разобранный пример 2×2

A = [[1, 2], [3, 4]], B = [[5, 6], [7, 8]].

  • C_11 = 1·5 + 2·7 = 5 + 14 = 19
  • C_12 = 1·6 + 2·8 = 6 + 16 = 22
  • C_21 = 3·5 + 4·7 = 15 + 28 = 43
  • C_22 = 3·6 + 4·8 = 18 + 32 = 50

AB = [[19, 22], [43, 50]].

Проверьте обратный порядок: BA = [[23, 34], [31, 46]]. Он не равен AB, умножение матриц некоммутативно.

Совместимость размеров

Размеры A Размеры B Совместимы? Размеры произведения
2×3 3×4 Да 2×4
3×3 3×3 Да 3×3
2×3 4×3 Нет -
1×n n×1 Да 1×1 (скаляр)
n×1 1×n Да n×n (внешнее произведение)

Свойства

  • Ассоциативность: A(BC) = (AB)C.
  • Дистрибутивность: A(B + C) = AB + AC.
  • НЕ коммутативно: в общем случае AB ≠ BA.
  • Единица: AI = IA = A, где I, единичная матрица подходящего размера.
  • Нулевая матрица: A · 0 = 0, но будьте внимательны, равенство AB = 0 НЕ означает, что A = 0 или B = 0.

Почему в приложениях важен порядок

  • Компьютерная графика: матрицы преобразования перемножаются справа налево. M_screen = M_projection · M_view · M_model. Если поменять местами масштабирование и поворот, результат будет другим.
  • Повороты: поворот вокруг X, а затем вокруг Y, не то же самое, что поворот вокруг Y, а затем вокруг X.
  • Цепи Маркова: умножение матрицы переходов на вектор состояния продвигает систему на один шаг; менять порядок бессмысленно.

Вычислительная сложность

Стандартное «школьное» умножение двух матриц n×n требует O(n³) операций. Алгоритм Штрассена снижает это до O(n^2.81), а теоретические оценки ещё ниже, но для матриц размером до нескольких сотен именно школьный метод на практике оказывается самым быстрым благодаря удобным для кэша схемам доступа к памяти.

Часто задаваемые вопросы

Число столбцов первой матрицы должно совпадать с числом строк второй. Умножение 2×3 · 2×3 не проходит, потому что у A три столбца, а у B всего две строки. Нужно транспонировать B: умножение 2×3 · 3×2 корректно и даёт матрицу 2×2.

Для умножения скаляра на матрицу воспользуйтесь общим матричным калькулятором, этот инструмент предназначен именно для умножения двух матриц.

Потому что каждый элемент AB, это скалярное произведение строки A и столбца B; при перестановке перемножаются уже другие строки с другими столбцами. Коммутируют лишь особые пары (матрица и обратная к ней, матрица и единичная, диагональные матрицы с различными элементами).

Да. Строка 1×n, умноженная на столбец n×1, даёт скаляр 1×1 (скалярное произведение). Наоборот, n×1 на 1×n даёт внешнее произведение n×n, матрицу ранга 1.

Нет. Умножение выполняется в вашем браузере; значения никогда не покидают ваше устройство.

Сопутствующие инструменты

Калькулятор балясин

Введите свободный пролёт перил, ширину балясины и максимально допустимый зазор, чтобы получить точное количество необходимых балясин и равный промежуток между каждой стойкой, не превышающий нормативный предел.

Калькулятор длительности

Рассчитайте длительность между двумя часами в формате HH:MM, десятичных часах, минутах и секундах.

Калькулятор делительной окружности отверстий

Рассчитайте PCD, угловой шаг и точные координаты X/Y равномерных отверстий с поворотом, смещением центра и экспортом CSV.

Калькулятор длины ремня

Рассчитайте длину открытого ремня по делительной линии из диаметров двух шкивов и межосевого расстояния точным и приближённым методом.

Калькулятор гематрии

Рассчитайте значение гематрии для любого слова или фразы в шести английских шифрах: Simple/Ordinal, Full Reduction, Reverse, Sumerian и Jewish/Latin.

Конвертер дней в месяцы

Преобразуйте количество дней в месяцы, недели и годы, используя среднюю продолжительность месяца, 30,437 дня, готовый результат для планирования и оценок.

Инструмент доступен на других языках