Softonic

Калькулятор разложения на простейшие дроби

Шаг 1 / 3 Калькулятор разложения на простейшие дроби

Используйте x, целые числа, +, -, *, ^ и скобки. Умножение записывайте явно, например 3*x.

Далее: введите знаменатель

Представьте поддерживаемое рациональное выражение как сумму многочлена-частного и более простых дробей. Введите числитель и знаменатель отдельно, затем посмотрите точные коэффициенты и проверенное тождество, восстанавливающее исходный числитель.

Как разложить рациональное выражение

  1. 1

    Введите числитель

    Запишите многочлен от x, например x+7 или x^2+3*x+1. Для умножения используйте *.

  2. 2

    Введите знаменатель

    Запишите ненулевой многочлен степени от 1 до 4, например (x-3)*(x+2).

  3. 3

    Проверьте тождество

    Посмотрите многочлен-частное, простейшие дроби и точное тождество для коэффициентов. Область допустимых значений по-прежнему задает исходный знаменатель.

От одной дроби к простым слагаемым

Разложение на простейшие дроби представляет рациональное выражение как сумму более простых дробей. Если у знаменателя разные линейные множители, каждому соответствует постоянный числитель. Для кратного множителя добавляется слагаемое для каждой степени. Неприводимому квадратному множителю соответствует линейный числитель. В учебнике OpenStax Precalculus описаны эти формы и подбор коэффициентов.

Например, (x+7)/((x-3)*(x+2)) = 2/(x-3) - 1/(x+2). Приведение двух слагаемых к общему знаменателю дает (2*(x+2)-(x-3))/((x-3)*(x+2)) = (x+7)/((x-3)*(x+2)). Тождество верно при всех x, кроме 3 и -2: в этих точках исходный знаменатель равен нулю.

Как вводить поддерживаемые многочлены

Используйте целые коэффициенты, x, скобки и операторы +, -, * и ^. Умножение записывайте явно, например 3*x или (x-2)*(x+1). Вводите два многочлена отдельно; не набирайте дробную черту. Подходят как развернутая запись, так и произведение множителей. Так, x^2-5*x+6 и (x-2)*(x-3) задают один и тот же многочлен.

Степень числителя может быть не выше 6, степень знаменателя должна быть от 1 до 4. Абсолютное значение каждого коэффициента во входных многочленах и в многочленах, получаемых при промежуточных вычислениях, не должно превышать 1 000 000. Линейные множители могут иметь любые рациональные корни, допустимые при этих целых коэффициентах, в том числе кратные. По теореме о рациональных корнях возможные рациональные корни представляют собой отношения делителей свободного члена к делителям старшего коэффициента. Поддерживается не более одного оставшегося квадратного множителя с отрицательным дискриминантом. У такого множителя нет вещественных корней. Знаменатели с иррациональным вещественным корнем или несколькими квадратными множителями не поддерживаются. Во вводимых выражениях коэффициенты целые, а в результате могут появиться точные дробные коэффициенты.

Исходная дробь Разложение
3*x/((x+2)*(x-1)) 2/(x+2) + 1/(x-1)
(-x^2+2*x+4)/(x*(x-2)^2) 1/x - 2/(x-2) + 2/(x-2)^2
(x^2+3*x+1)/(x^2-4) 1 + (11/4)/(x-2) + (1/4)/(x+2)
1/((2*x-1)*(x+2)) (2/5)/(2*x-1) - (1/5)/(x+2)

Если дробь неправильная, калькулятор сначала делит числитель на знаменатель, затем раскладывает остаток. Показанное тождество для коэффициентов объединяет простейшие дроби обратно в остаток. После этого результат сверяется с исходным числителем посредством точных операций с рациональными числами. В OpenStax Calculus описан такой же порядок: сначала деление, затем разложение. Верное алгебраическое тождество не возвращает значения x, исключенные исходным знаменателем, даже если множитель сокращается.

Часто задаваемые вопросы

Да. Введите отдельно ее числитель и знаменатель. Калькулятор делит многочлены и затем раскладывает полученный остаток, если он есть. Частное выводится рядом с простейшими дробями.

Да, если кратный линейный множитель имеет рациональный корень. Для (2x-1)^2 форма разложения включает A/(2x-1) и B/(2*x-1)^2; слагаемое с нулевым коэффициентом не показывается.

Его степень должна быть от 1 до 4. Он должен раскладываться на линейные множители с рациональными корнями и, возможно, один оставшийся квадратный множитель с отрицательным дискриминантом. Иррациональный вещественный корень или два неприводимых квадратных множителя выходят за пределы возможностей калькулятора.

Только там, где исходный знаменатель отличен от нуля. Показанное тождество подтверждает операции с многочленами, но сокращение множителей не возвращает исключенные точки в область допустимых значений исходного выражения.

Сопутствующие инструменты

Калькулятор длительности

Рассчитайте длительность между двумя часами в формате HH:MM, десятичных часах, минутах и секундах.

Калькулятор совместимости имен

Введите два имени и получите шуточную оценку совместимости, а также пифагорейское число каждого имени. Инструмент читает только латиницу (от A до Z), поэтому русское имя сначала запишите латинскими буквами.

Калькулятор матриц

Универсальный калькулятор матриц: сложение, вычитание, умножение, транспонирование, обращение и вычисление определителя для любых размерностей. Показывает промежуточные шаги.

Калькулятор прогноза роста взрослого

Получите приблизительную оценку взрослого роста по росту биологических родителей. Инструмент не ставит диагнозов.

Калькулятор «сколько часов назад»

Узнайте точные дату и время, которые были заданное число часов назад от текущего момента.

Калькулятор угла конуса

Рассчитайте полуугол, полный угол, конусность 1:N и диаметральный уклон по большому и малому диаметрам и осевой длине.

Инструмент доступен на других языках