Калькулятор квадратичной регрессии

Что рассчитывает квадратичная регрессия

Квадратичная модель имеет вид ŷ = a*x^2 + b*x + c, где ŷ означает расчётное значение y. Коэффициент a определяет кривизну, b является линейным коэффициентом, а c показывает расчётное значение y при x = 0. Наклон в конкретной точке x равен 2*a*x + b, поэтому b сам по себе не задаёт постоянный наклон. Если a равен нулю, модель становится прямой. Если значения x сильно смещены от нуля, для точности прогноза отображаемое уравнение может использовать центрированное и масштабированное x; коэффициенты для исходного x в таком случае показаны приближённо.

Калькулятор подбирает коэффициенты методом наименьших квадратов: минимизирует сумму квадратов вертикальных разностей между наблюдаемыми и расчётными значениями y. Хотя график имеет форму кривой, модель линейна относительно трёх неизвестных коэффициентов. Объяснение метода наименьших квадратов для полиномиальных моделей от NIST.

Для каждой строки residual = observed y - fitted y, то есть остаток равен разности между наблюдаемым и расчётным y. Среднеквадратичная ошибка определяется как RMSE = sqrt(sum(residual^2)/n), где n обозначает число строк. RMSE выражается в тех же единицах, что и y. Коэффициент детерминации равен R² = 1 - sum(residual^2)/sum((y - mean(y))^2). Если все наблюдаемые значения y одинаковы, знаменатель равен нулю и R² не определён. Здесь RMSE рассчитывается с делением на n; остаточная стандартная ошибка отличается тем, что делится на число остаточных степеней свободы.

Разобранный пример

Введите три пары: (0; 1), (1; 4) и (2; 9). Получится кривая ŷ = x^2 + 2*x + 1. При x = 0 уравнение даёт c = 1. Из остальных пар следуют равенства a + b + 1 = 4 и 4*a + 2*b + 1 = 9, поэтому a = 1 и b = 2. Все три остатка равны нулю, RMSE равна нулю, а R² равен единице. Через три точки с различными x можно точно провести одну параболу, но это ещё не доказывает, что она хорошо предскажет новые наблюдения.

При x = 1,5 уравнение даёт прогноз 6,25. При x = 3 прогноз равен 16, однако это значение получено за пределами введённого диапазона x, то есть экстраполяцией. Вне диапазона измерений квадратичная кривая может быстро расти или снижаться.

Чтобы увидеть случай с ненулевой ошибкой, рассмотрим пять наблюдений:

Эти остатки удовлетворяют уравнениям метода наименьших квадратов для коэффициентов. Сумма их квадратов равна 0,70, поэтому RMSE = sqrt(0.70/5), или примерно 0,3742. Сумма квадратов отклонений y от среднего значения 3 равна 14,70. Следовательно, R² = 1 - 0.70/14.70, или примерно 0,9524.

Подготовка и интерпретация данных

Вводите по одной паре на каждую непустую строку. Если в выбранных настройках для десятичных дробей используется точка, числа x и y можно разделять запятой, точкой с запятой, табуляцией или пробелом. При десятичной запятой разделяйте числа точкой с запятой, табуляцией или пробелом, например 1,5; 2,25. Не используйте разделители тысяч. Необязательная первая строка с заголовками принимается, только если она явно обозначает оба столбца. В каждой другой непустой строке должны быть два корректных числа: строка с ошибкой не пропускается молча.

Для однозначного подбора квадратичной модели нужны как минимум три различных значения x. Модуль каждого введённого значения x и y, а также необязательного значения x для прогноза не должен превышать 10^12. Повторные измерения при одном x допустимы и учитываются как отдельные наблюдения. Оценивайте форму кривой и остатки вместе с R² и RMSE. Высокий R² сам по себе не доказывает причинную связь и не гарантирует точный прогноз; универсального порога «хорошего» соответствия нет. NIST рассматривает анализ остатков как часть проверки модели.

Калькулятор обрабатывает пары в этой вкладке браузера. Пока вы переходите между тремя шагами, введённые данные хранятся в хранилище сеанса и удаляются при выборе действия «Начать заново». Ссылка на страницу не содержит введённых пар. Необязательный прогноз представляет собой точечную оценку по построенному уравнению и не включает интервал неопределённости.