Softonic

Калькулятор квадратного корня

Шаг 1 / 4 Квадратный корень

Введите любое число. Для неотрицательных значений калькулятор возвращает главный квадратный корень в десятичной форме; для положительных целых чисел он также показывает упрощенную радикальную форму, когда это возможно: √72 = 6√2 и √200 = 10√2. Полные квадраты дают целые числа. Отрицательные значения помечаются как комплексные, а ниже объясняется, как √(−x) превращается в i√x.

Как вычисляется корень

  1. 1

    Введите число под корнем

    Укажите число, стоящее под знаком корня. Оно может быть положительным, отрицательным или равным нулю.

  2. 2

    Прочитайте десятичный результат

    Для неотрицательных значений калькулятор возвращает главный корень с помощью стандартного вычисления квадратного корня в формате с плавающей точкой.

  3. 3

    Проверьте упрощенную радикальную форму

    Для положительных целых чисел множители, являющиеся полными квадратами, выносятся из-под корня. √72 = √(36 × 2) = 6√2.

  4. 4

    Используйте заметки для проверки

    Примеры ниже показывают метод разложения на множители, распространенные десятичные значения и различие между действительными и комплексными корнями.

Полезные полные квадраты

n n² √(n²)
1 1 1
2 4 2
3 9 3
4 16 4
5 25 5
10 100 10
11 121 11
12 144 12
13 169 13
14 196 14
15 225 15
16 256 16
25 625 25

Упрощение чисел, которые не являются полными квадратами

Для целых чисел ищите наибольший множитель, являющийся полным квадратом:

  • √50 = √(25 × 2) = 5√2
  • √72 = √(36 × 2) = 6√2
  • √108 = √(36 × 3) = 6√3
  • √500 = √(100 × 5) = 10√5
  • √1000 = √(100 × 10) = 10√10

Если остается множитель, который не является квадратом, оставьте его под корнем. Например, √180 = √(36 × 5) = 6√5, а не √(4 × 45) = 2√45, потому что в 45 все еще есть множитель-полный квадрат 9.

Распространенные десятичные значения и применения

  • √2 ≈ 1,41421 (школьная геометрия: диагональ квадрата 1 × 1)
  • √3 ≈ 1,73205 (пространственная диагональ единичного куба)
  • √5 ≈ 2,23607 (встречается в золотом сечении (1+√5)/2)
  • √7 ≈ 2,64575
  • √π ≈ 1,77245 (статистика и гауссовы интегралы)
  • √10 ≈ 3,16228
  • √(1000) ≈ 31,6228 (увеличение числа в 10 раз умножает квадратный корень примерно на 3,16)

В строительстве и измерениях квадратные корни часто превращают площадь в длину стороны: квадратная площадка площадью 49 м² имеет сторону √49 = 7 м, а квадратное пространство площадью 80 м² имеет сторону √80 = 4√5 м ≈ 8,94 м.

Отрицательные числа и комплексные корни

Квадратный корень из отрицательного числа не является действительным числом. В комплексных числах для положительного x выполняется √(−x) = i√x, поэтому √(−4) = 2i. Онлайн-калькулятор помечает отрицательные входные данные как комплексные, а не показывает действительное десятичное значение.

Квадратный корень и корень n-й степени

Этот калькулятор работает с квадратными корнями, то есть корнями второй степени. Для кубических корней, корней четвертой степени и других показателей используйте общий инструмент для корня n-й степени. Ключевые тождества:

  • √(ab) = √a × √b (только если a и b неотрицательны)
  • √(a/b) = √a / √b (только если b > 0)
  • (√a)² = a (только если a >= 0)

Историческая справка

Знак радикала √ развился в XVI веке из буквы r, от латинского radix, то есть корень. Горизонтальная черта, называемая vinculum, была добавлена в XVII веке, чтобы точно показывать, что находится под корнем.

Часто задаваемые вопросы

У каждого положительного числа есть два квадратных корня: +r и −r. Знак √ возвращает главный корень, то есть неотрицательный. При решении квадратных уравнений обычно учитывают оба корня.

По соглашению только 5. √ возвращает главный корень. При решении x² = 25 и 5, и −5 удовлетворяют уравнению, поэтому пишут x = ±5.

Обычные методы включают вынесение полных квадратов из-под корня, письменный алгоритм по цифрам и метод Ньютона: x_new = (x + a/x)/2. Метод Ньютона быстро сходится; нескольких итераций обычно достаточно для школьной проверки.

Классическое доказательство использует противоречие. Если √2 = p/q в несократимой форме, то 2q² = p², значит p четно. Запишем p = 2k; тогда q² = 2k², то есть q тоже четно. Это противоречит предположению, что p/q было несократимой дробью, поэтому √2 не может быть дробью.

Сопутствующие инструменты

Калькулятор балясин

Введите свободный пролёт перил, ширину балясины и максимально допустимый зазор, чтобы получить точное количество необходимых балясин и равный промежуток между каждой стойкой, не превышающий нормативный предел.

Калькулятор нумерологии

Рассчитайте нумерологические числа имени по пифагорейским или халдейским значениям букв: выражение, стремление души и личность.

Калькулятор длины дуги

Рассчитайте длину дуги окружности по радиусу и центральному углу или по хорде и радиусу, с результатами в градусах и радианах.

Калькулятор времени работы батареи

Рассчитайте, как долго прослужит батарея, исходя из её ёмкости в мА·ч, тока нагрузки в мА и коэффициента эффективности разряда. Получите время работы в часах, днях и минутах.

Калькулятор производительности осушителя воздуха

Оцените производительность переносного осушителя по площади и сырости помещения в литрах и американских пинтах в сутки.

Калькулятор Social Security США

Оцените пенсионную выплату Social Security в США по PIA и возрасту начала получения. Сравните месячные и годовые суммы в 62 года, FRA 67 и 70 лет.