Калькулятор квадратного корня
Введите положительное число — калькулятор вернёт его квадратный корень в десятичной форме с точностью до 15 знаков и, по возможности, в виде упрощённого радикала: например, √72 получается как 6√2, а √200 — как 10√2. Для совершенных квадратов результат будет целым числом; для отрицательных чисел — представление в виде i с извлечением воображаемой единицы.
Как вычисляется корень
-
1
Введите радикаанд
Число под радикалом: положительное, отрицательное или ноль.
-
2
Десятичный формат
Расчёт выполняется с использованием инструкции корня квадратного IEEE 754; результат точен до 15 значающих цифр.
-
3
Упрощённая радикальная форма
Выделите делиители, являющиеся квадратными числами. √72 = √(36 × 2) = 6√2.
-
4
Показать рабочий процесс
Показывается пошаговое разложение на множители, чтобы вы могли воспроизвести его вручную.
Необходимые идеальные квадраты
| n | n² | √(n²) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 2 |
| 3 | 9 | 3 |
| 4 | 16 | 4 |
| 5 | 25 | 5 |
| 10 | 100 | 10 |
| 11 | 121 | 11 |
| 12 | 144 | 12 |
| 13 | 169 | 13 |
| 14 | 196 | 14 |
| 15 | 225 | 15 |
| 16 | 256 | 16 |
| 25 | 625 | 25 |
Упрощение неперфектных квадратов
Суть в том, чтобы найти наибольший множитель, являющийся совершенным квадратом.
- √50 = √(25 × 2) = 5√2
- √72 = √(36 × 2) = 6√2
- √108 = √(36 × 3) = 6√3
- √500 = √(100 × 5) = 10√5
- √1000 = √(100 × 10) = 10√10
Если результат по-прежнему содержит неквадратный множитель, повторите расчёты: √180 = √(36 × 5) = 6√5, а не √(4 × 45) = 2√45 (расчёт не полностью упрощён).
Типичные десятичные значения
√2 ≈ 1,41421 (Пифагор в единичном квадрате) √3 ≈ 1,73205 (диагональ куба)
- √5 ≈ 2,23607 (является частью золотого отношения (1 + √5)/2)
- √7 ≈ 2.64575
- √π ≈ 1,77245 (используется в статистике и для вычисления гауссовских интегралов)
- √10 ≈ 3.16228 √(1000) ≈ 31,6228 (при увеличении значения √ в 10 раз его значение возрастает примерно в 3,16 раза)
Негативные числа и комплексные числа
Квадратный корень отрицательного числа не определён в реальных числах. В комплексных числах для положительного x выполняется √(−x) = i√x; таким образом, √(−4) = 2i. Калькулятор выводит имагинарную форму вместо десятичной формы при работе с отрицательными значениями.
Квадратный корень против n-го корня
Калькулятор поддерживает вычисление квадратных корней (2-й степени). Для кубических корней, четвертых корней и других степеней используйте специальный инструмент для n-й корня. Основные соотношения:
√(ab) = √a × √b (только при условии, что a и b неотрицательны) √(a/b) = √a / √b (только при b > 0) (√a)² = a (только при условии, что a ≥ 0)
Индикатор истории
Радикальный символ √ возник в XV веке на основе буквы r (от radix; слово «root» в латинском языке означает «корень»). Горизонтальная линия (винкулум) была добавлена в XVII веке для обозначения части текста, расположенной под корнем.
Часто задаваемые вопросы
Каждое положительное число имеет две квадратные корни: +x и −x. Под основным корнем (неотрицательным) обычно понимается именно этот корень. В квадратных уравнениях используются оба корня.
По умолчанию значение равен 5. Функция √ возвращает главный (неотрицательный) корень. При решении уравнения x² = 25 как 5, так и −5 удовлетворяют его условия, поэтому решение записывается как x = ±5.
Исторические методы включают алгоритм длинного деления цифру за цифрой, метод Ньютона (итеративный: x_new = (x + a/x)/2) или разложение на множители и упрощение для нахождения корней чисел, богатых квадратными делителями. Метод Ньютона быстро сходимся: уже после трёх итераций достигается точность до десяти знаков для большинства входных значений.
Грецы доказали это методом оппозиции: если √2 = p/q в наименьших общих знаменателях, то 2q² = p², что делает p чётным числом; следовательно, p = 2k, а значит, 2q² = 4k², откуда следует q² = 2k² — q также является чётным числом, что противоречит утверждению lowest terms. Таким образом, √2 не может быть дробью и является иррациональным числом.