Калькулятор биномиальной вероятности
При n независимых испытаниях Бернулли с вероятностью успеха p биномиальное распределение показывает, как часто вы получите ровно k успехов. Калькулятор за один раз вычисляет точную вероятность P(X = k), накопленную P(X ≤ k), верхнюю хвостовую P(X ≥ k), а также среднее и дисперсию — всё это через комбинаторику на основе логарифма гамма-функции, поэтому точность сохраняется даже при n = 10 000.
Как рассчитать биномиальную вероятность
-
1
Введите n (число испытаний)
Должно быть неотрицательным целым числом. Типичные значения: 10 подбрасываний монеты, 100 посетителей A/B-теста, 10 000 производственных образцов.
-
2
Введите p (вероятность успеха)
Значение от 0 до 1. Для честной монеты p = 0,5; для кликабельности 12% — p = 0,12.
-
3
Введите k (целевое число успехов)
Целое число от 0 до n.
-
4
Прочитайте вероятности
Точная P(X = k), левый хвост P(X ≤ k), правый хвост P(X ≥ k), а также среднее = np и дисперсия = np(1-p).
Формула
P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1-p)^(n-k)
Где C(n, k) — биномиальный коэффициент, то есть «число сочетаний из n по k». Инструмент использует вычисления в логарифмическом пространстве через гамма-функцию, чтобы избежать переполнения при больших n.
Разобранный пример: 10 подбрасываний монеты, ровно 7 орлов
- n = 10, p = 0,5, k = 7
- C(10, 7) = 120
- P(X = 7) = 120 · 0,5^7 · 0,5^3 = 120 / 1024 ≈ 0,1172
То есть примерно в 11,7% случаев вы получите ровно 7 орлов за 10 подбрасываний.
Когда применимо биномиальное распределение
Должны выполняться все четыре предположения Бернулли:
- Фиксированное число испытаний (n задаётся заранее).
- Каждое испытание независимо от остальных.
- Только два исхода в каждом испытании (успех / неудача).
- Постоянная вероятность успеха p во всех испытаниях.
Если хотя бы одно предположение нарушается (зависимые выборки без возвращения, переменная p, более двух исходов), используйте гипергеометрическое, пуассоновско-биномиальное или полиномиальное распределение.
Среднее, дисперсия и нормальное приближение
- Среднее: μ = np
- Дисперсия: σ² = np(1-p)
- Стандартное отклонение: σ = √(np(1-p))
Когда np ≥ 10 и n(1-p) ≥ 10, биномиальное распределение хорошо приближается нормальным Normal(μ, σ²) с поправкой на непрерывность. Калькулятор отмечает это условие, чтобы при необходимости вы могли перейти к быстрому расчёту через z-оценку.
Часто задаваемые вопросы
P(X = k) — вероятность ровно k успехов; P(X ≤ k) — накопленная вероятность не более чем k успехов. Для 10 подбрасываний честной монеты P(X = 5) ≈ 0,246, но P(X ≤ 5) ≈ 0,623.
Да. Калькулятор возвращает P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1). Для «более чем k» вычтите ещё один: P(X > k) = P(X ≥ k+1).
До 100 000 стабильно благодаря вычислению через логарифм гамма-функции. Выше используйте нормальное приближение или приближение Пуассона (применимо, когда p мало, а n велико).
Тогда нужно пуассоновско-биномиальное распределение, а не обычное биномиальное. Этот калькулятор предполагает единую постоянную p для всех n испытаний.
Сопутствующие инструменты
Калькулятор прогноза роста взрослого
Оцените целевой взрослый рост ребенка по росту биологических родителей, в сантиметрах или футах/дюймах, с типичным целевым диапазоном.
Калькулятор нумерологии
Рассчитайте нумерологические числа имени по пифагорейским или халдейским значениям букв: выражение, стремление души и личность.
Калькулятор балясин
Введите свободный пролёт перил, ширину балясины и максимально допустимый зазор, чтобы получить точное количество необходимых балясин и равный промежуток между каждой стойкой, не превышающий нормативный предел.
Калькулятор длины дуги
Рассчитайте длину дуги окружности по радиусу и центральному углу или по хорде и радиусу, с результатами в градусах и радианах.
Калькулятор темпа бега
Введите дистанцию и финишное время, чтобы рассчитать темп на км, темп на милю, среднюю скорость и прогнозы времени для 5 км, 10 км, полумарафона и марафона.
Калькулятор возраста собаки
Переведите возраст собаки в человеческие годы по современным ветеринарным данным. Маленькие, средние, крупные и гигантские собаки стареют с разной скоростью.